"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Сфера — поверхность, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра; шар включает эту поверхность и всё пространство внутри неё. Эти понятия помогают описывать круглые тела и их сечения плоскостями. Главное — различать сферу и шар, понимать роль радиуса и диаметра и учитывать, как далеко секущая плоскость расположена от центра. По этим сведениям можно определить вид сечения и вычислить его радиус.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сфера — поверхность, состоящая из всех точек пространства, удалённых от данной точки на одно и то же расстояние. Эту точку называют центром, а расстояние — радиусом и обозначают R. Определение помогает распознать сферу по общему признаку её точек: каждая из них находится от центра ровно на R.
Шар — тело, состоящее из всех точек пространства, расстояние от которых до центра не превышает радиус. Значит, в шар входят и точки сферы, и точки внутри неё. Это определение нужно, чтобы не путать поверхность с объёмной областью, которую она ограничивает.
Центр и радиус сферы — заданная точка и расстояние от неё до любой точки сферы. Если центр обозначен O, а точка A лежит на сфере, то OA = R. Радиус задаёт размер сферы и позволяет проверять, лежит ли заданная точка на её поверхности.
Диаметр сферы — отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки сферы; его длина равна двум радиусам. Если концы диаметра — точки A и B, то AB = 2R. Диаметр показывает наибольшее расстояние между точками сферы и помогает находить радиус, когда известна его длина.
Представьте, что из одной точки O отложили во всех направлениях отрезки одинаковой длины R. Их концы заполнят поверхность, а не отдельную плоскую фигуру: направления в пространстве непрерывно меняются. Поэтому множество точек, удалённых от O ровно на R, образует сферу. Если же брать все расстояния от нуля до R, получится также внутренняя область — шар.
Сферу и шар различают по условию на расстояние до центра. Для точки сферы расстояние всегда равно R, тогда как точка шара может находиться на любом расстоянии от центра, не большем R. Аналогия с окружностью и кругом помогает это запомнить: окружность — граница, круг — граница вместе с внутренностью. Такое различие важно, когда спрашивают, что именно является сечением.
Рассмотрим плоскость на расстоянии d от центра сферы радиуса R. Если d меньше R, плоскость проходит через внутреннюю область и пересекает поверхность по окружности. При d = R плоскость касается поверхности только в ближайшей к ней точке; если d больше R, вся плоскость находится за пределами шара и пересечения нет. Таким образом, вид сечения определяется сравнением d и R.
Чтобы найти радиус окружности сечения, опустим из центра O перпендикуляр к секущей плоскости. Его длина равна d, а основание является центром окружности сечения. Соединим O с любой точкой окружности: получим радиус сферы R, перпендикуляр d и радиус сечения r, образующие прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора R² = d² + r², поэтому r = √(R² − d²).
Чем дальше секущая плоскость от центра, тем меньше окружность: в формуле радиус сечения уменьшается при увеличении d. Наибольшее сечение получается при d = 0, то есть когда плоскость проходит через центр. Тогда r = R, окружность называют большим кругом, а её диаметр равен 2R и совпадает с диаметром сферы. Для шара сечение такой плоскостью включает весь круг, а не только его границу.
| Характеристика | Сфера | Шар |
|---|---|---|
| Что представляет собой объект | Граница тела | Тело вместе с внутренней областью |
| Условие для расстояния до центра | Расстояние равно радиусу | Расстояние не превышает радиус |
| Сечение плоскостью через центр | Большой круг | Большой круг вместе с его внутренней областью |
| Сечение плоскостью на расстоянии d от центра | Окружность радиуса √(R² − d²) | Круг радиуса √(R² − d²) |
| Диаметр | 2R | 2R |
Сначала определите, говорится ли о поверхности или о теле с внутренней областью: от этого зависит, нужно ли назвать окружность или круг. Для сечения найдите расстояние d от центра до плоскости и сравните его с R. Формула радиуса сечения применима при d ≤ R, а при d = 0 сразу получается наибольшее сечение.
Дана сфера с центром O и радиусом 5 см. Определите, принадлежит ли сфере точка A, если OA = 5 см, и принадлежит ли шару точка B, если OB = 4 см.
Ответ: точка A принадлежит сфере, точка B принадлежит шару.
Радиус сферы равен 13 см, а расстояние от её центра до секущей плоскости — 5 см. Нужно найти радиус окружности сечения. Поскольку 5 < 13, плоскость действительно пересекает сферу, и можно использовать прямоугольный треугольник, образованный радиусом сечения, перпендикуляром к плоскости и радиусом сферы.
Ответ: 12 см.
Сфера радиуса 10 см касается плоскости. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости и опишите их общие точки. При касании плоскость имеет со сферой ровно одну общую точку, а перпендикуляр, проведённый из центра к плоскости, проходит через эту точку. Расстояние от центра до плоскости равно длине этого перпендикуляра.
Ответ: расстояние равно 10 см; общая точка одна.
Считать сферу объёмным телом. Сфера — только поверхность, ограничивающая шар, а объёмную область называют шаром. Путаница возникает из-за того, что в быту словом «сфера» иногда называют округлый предмет целиком. Проверьте себя: если речь о точках внутри поверхности, рассматривается шар.
Требовать от точки шара расстояние ровно R. Это условие относится к сфере, тогда как для шара расстояние может быть любым от нуля до R включительно. Ошибка появляется, когда определения воспринимают как одинаковые. Перед ответом сравните расстояние до центра с радиусом: для шара достаточно, чтобы оно не превышало R.
Приравнивать радиус сечения к радиусу сферы при любом положении плоскости. Такое равенство верно только для плоскости через центр; при смещении сечение становится меньше. Обычно забывают учесть расстояние d от центра до плоскости. Проверьте результат по формуле r = √(R² − d²): при d > 0 должно быть r < R.
Считать, что касательная плоскость не имеет общих точек или имеет их бесконечно много. Касание сферы происходит в одной точке, а не вдоль линии. Ошибка связана с переносом привычных представлений о касании плоских фигур без проверки пространственного условия. Найдите расстояние от центра до плоскости: при d = R общая точка одна.
Для работы с сечениями нужны знания о расстоянии между точками в пространстве, перпендикуляре к плоскости и теореме Пифагора. Сфера и шар опираются на свойства окружности и круга: при сечении плоскостью появляются именно эти фигуры. Позже понятия пригодятся при изучении тел вращения, площадей поверхностей и объёмов. Они также используются в координатном методе, где положение точки или плоскости описывают числами.
Чем сфера отличается от шара?
Сфера — только поверхность, состоящая из точек на расстоянии R от центра. Шар включает эту поверхность и все точки внутри неё, расстояние которых до центра не больше R.
Почему сечение сферы плоскостью является окружностью?
Все точки сечения лежат в секущей плоскости и одновременно на сфере, то есть удалены от центра сферы на R. Если опустить из центра перпендикуляр на плоскость, то расстояние до любой точки сечения будет одинаковым — это расстояние от основания перпендикуляра до точки. Поэтому сечение образует окружность.
Как понять, пересекает ли плоскость сферу?
Сравните расстояние d от центра сферы до плоскости с радиусом R. При d < R плоскость пересекает сферу по окружности, при d = R касается её в одной точке, а при d > R общих точек нет.
Почему радиус сечения меньше радиуса сферы?
Радиус сечения r, расстояние от центра сферы до плоскости d и радиус сферы R образуют прямоугольный треугольник: r² + d² = R². Поэтому при d > 0 получается r < R. Равенство возможно, если плоскость проходит через центр.
Когда плоскость является касательной к сфере?
Плоскость касается сферы, когда расстояние от центра до неё равно радиусу сферы. Тогда перпендикуляр из центра заканчивается на сфере, и эта точка — единственная общая точка плоскости и сферы.
3.1. Сфера и шар
