§ 3. Сфера

Определения и обозначения

Сфера — множество точек пространства, находящихся на одном и том же расстоянии от данной точки. Такое множество называют геометрическим местом точек, то есть набором точек, которые удовлетворяют одному условию. Для сферы это условие — постоянное расстояние до выбранной точки. Определение позволяет отличить сферу от других поверхностей.

Центр сферы — заданная точка, от которой измеряется одинаковое расстояние до всех точек сферы. Обычно центр обозначают буквой O или C. Он задаёт положение сферы в пространстве, поэтому его координаты понадобятся при составлении уравнения. При изменении центра сфера перемещается, но её форма и радиус могут остаться прежними.

Радиус сферы — расстояние от её центра до любой точки сферы. Радиусом также называют отрезок, соединяющий центр с точкой поверхности; его длину часто обозначают R. Все такие отрезки имеют одинаковую длину. Зная радиус, можно записать уравнение сферы и проверить расстояние от центра до заданной точки.

Уравнение сферы — уравнение, которому удовлетворяют координаты всех точек сферы и только они. Если подставить координаты точки поверхности, равенство будет верным; для точки, не лежащей на сфере, оно не выполнится. Поэтому уравнение переводит геометрическое условие о расстоянии на язык координат. С ним удобно решать задачи без изображения сферы.

Как это устроено

Сфера и окружность определяются похожим условием: точки должны быть равноудалены от центра. Различие в том, где рассматриваются эти точки: окружность лежит на плоскости, а сфера — в пространстве. Поэтому для окружности достаточно двух координат, а для сферы нужны три. Такое сравнение помогает увидеть, почему в уравнении сферы появляется координата z.

Пусть центр сферы находится в начале координат O(0, 0, 0), а произвольная точка поверхности имеет координаты M(x, y, z). По формуле расстояния OM = √(x² + y² + z²). На сфере это расстояние равно R, поэтому √(x² + y² + z²) = R. Возводим обе части в квадрат и получаем x² + y² + z² = R².

Теперь пусть центр находится в точке C(a, b, c). Расстояние от произвольной точки M(x, y, z) до C равно √((x − a)² + (y − b)² + (z − c)²). Так как для точки сферы это расстояние равно R, после возведения равенства в квадрат получаем (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². Именно разности координат показывают, насколько точка M смещена от центра по каждому из трёх направлений.

Стандартный вид уравнения сразу показывает центр и радиус: сравните его с формулой (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². Если скобки раскрыты, сгруппируйте слагаемые по x, y и z и выделите полные квадраты. Например, x² − 4x превращается в (x − 2)² − 4, потому что при добавлении квадрата к скобкам нужно учесть вычтенную часть. Переносите эти числовые добавки на другую сторону равенства, иначе значение R² изменится неверно.

Чтобы понять положение точки относительно сферы, найдите её расстояние d до центра и сравните его с R. При d = R точка лежит на поверхности, потому что выполняет определяющее условие сферы. Если d меньше R, точка находится внутри, а если больше — вне сферы. Такое сравнение особенно удобно, когда нужно проверить положение точки, не строя чертёж.

Сфера и связанное с ней уравнение

Сначала найдите, где расположен центр: у начала координат или в точке с заданными координатами. Затем сопоставьте уравнение со стандартным видом и определите радиус, помня, что справа стоит R². Для точки вычислите расстояние до центра и сравните его с радиусом.

Разбор задач

Задача 1. Определите центр и радиус сферы, заданной уравнением x² + y² + z² = 25.

1. Сравним данное уравнение с видом сферы, центр которой находится в начале координат: x² + y² + z² = R². Координаты x, y и z не сдвинуты, поэтому центр совпадает с точкой O(0, 0, 0). Это сразу определяет положение сферы.
2. Сравним правые части: R² = 25. Извлекаем неотрицательный квадратный корень, так как радиус является длиной. Получаем R = 5.

Ответ: центр O(0, 0, 0), радиус 5.

Задача 2. Составьте уравнение сферы с центром C(1, −2, 3) и радиусом 4.

1. Используем стандартную формулу (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². В неё нужно подставить координаты центра и квадрат радиуса. Такой порядок помогает не перепутать знаки.
2. Подставляем a = 1, b = −2, c = 3 и R² = 16. В скобках получаем x − 1, y − (−2) и z − 3; двойное отрицание превращается в сложение. Значит, уравнение имеет вид (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 16.

Ответ: (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 16.

Задача 3. Найдите центр и радиус сферы x² + y² + z² − 4x + 6y − 2z − 11 = 0 и определите положение точки A(1, 1, 1) относительно неё.

1. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными и перенесём свободное число: (x² − 4x) + (y² + 6y) + (z² − 2z) = 11. Выделяем полные квадраты: (x − 2)² − 4, (y + 3)² − 9 и (z − 1)² − 1. Переносим вычтенные числа направо и получаем (x − 2)² + (y + 3)² + (z − 1)² = 25.
2. Сравниваем со стандартной формой: центр C(2, −3, 1), а R² = 25, следовательно, R = 5. Знаки координат центра читаются по скобкам с учётом противоположного знака. Теперь найдём квадрат расстояния от A до C.
3. Получаем AC² = (1 − 2)² + (1 − (−3))² + (1 − 1)² = 1 + 16 + 0 = 17. Значит, AC = √17, а √17 меньше 5, поскольку 17 меньше 25. Точка находится внутри сферы.

Ответ: центр C(2, −3, 1), радиус 5; точка A находится внутри сферы.

Типичные ошибки

Сферу иногда путают с шаром, потому что в обычной речи эти слова часто используют как взаимозаменяемые. Но сфера — только поверхность, а шар содержит и внутренние точки. Чтобы проверить себя, спросите, рассматриваются ли точки лишь на фиксированном расстоянии от центра или также все точки с меньшим расстоянием.

В уравнении x² + y² + z² = R² правую часть иногда принимают за радиус. Причина — число R² выглядит как заданный размер, хотя радиус обозначен R. Проверка проста: если справа стоит 25, радиус равен √25 = 5, а не 25.

Знаки координат центра можно прочитать неверно: например, в (x − 2)² + (y + 3)² центр не (−2, 3), а (2, −3). Ошибку допускают, забывая, что в скобках координата вычитается целиком. Для проверки подставьте координаты предполагаемого центра: каждое выражение в скобках должно обратиться в ноль.

При выделении полных квадратов можно забыть перенести добавленные числа в правую часть. Тогда стандартная форма будет неверной и вместе с ней исказится радиус. Проверяйте преобразование раскрытием скобок: после раскрытия и переноса всех слагаемых должно получиться исходное уравнение.

Связь с другими темами

Для вывода уравнения сферы нужны координаты точки в прямоугольной системе и формула расстояния между двумя точками в пространстве. Понятие сферы связано с окружностью: обе фигуры состоят из точек на одинаковом расстоянии от центра, но окружность рассматривается на плоскости, а сфера — в пространстве. Шар отличается тем, что включает внутренние точки сферы. Уравнение сферы используют в задачах о взаимном расположении точки, прямой или плоскости и сферы.

Что запомнить

• Сфера — множество точек пространства, равноудалённых от центра.
• Радиус сферы — расстояние от центра до любой её точки.
• При центре O(0, 0, 0) уравнение сферы имеет вид x² + y² + z² = R².
• При центре C(a, b, c) уравнение имеет вид (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².
• В стандартном уравнении координаты центра стоят в скобках со знаком, противоположным знаку координаты.
• Чтобы проверить принадлежность точки сфере, подставляют её координаты в уравнение.