§ 3. Сфера

Определения и обозначения

Сфера — множество точек пространства, равноудалённых от одной данной точки. Эту точку называют центром сферы, а общее расстояние от неё до любой точки сферы — радиусом и обозначают R. Зная центр и радиус, можно определить, какие точки принадлежат сфере.

Шар — часть пространства, состоящая из точек, расстояние от которых до центра не больше радиуса. В отличие от сферы, шар включает не только поверхность, но и всё пространство внутри неё. Границей шара служит сфера.

Сечение сферы плоскостью — фигура, полученная при пересечении сферы с плоскостью. Если плоскость пересекает сферу, эта фигура является окружностью. По её радиусу можно судить о том, насколько близко плоскость проходит к центру сферы.

Касательная плоскость к сфере — плоскость, имеющая со сферой ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. Понятие касательной позволяет отличить плоскость, которая только касается сферы, от той, которая пересекает её.

Как это устроено

Если секущая плоскость проходит через центр сферы, её пересечение со сферой — окружность с центром в центре сферы. Действительно, каждая точка этой окружности лежит на сфере и удалена от её центра на одно и то же расстояние R. Поэтому радиус такого сечения равен радиусу сферы. Это самое большое сечение, которое может дать плоскость.

Для плоскости, не проходящей через центр, опустим из центра сферы O перпендикуляр на плоскость и обозначим его основание O₁. Перпендикуляр задаёт кратчайшее расстояние от точки до плоскости, поэтому O₁ является центром окружности сечения. Любая точка окружности равноудалена от O₁, а её расстояние до O равно R. Значит, сечение и здесь является окружностью, но её центр обычно не совпадает с центром сферы.

Пусть A — точка окружности сечения, а OA₁ не рассматриваем: нужный прямоугольный треугольник образуют O, O₁ и A. Отрезок OA равен радиусу сферы R, O₁A — радиусу сечения r, а OO₁ — расстоянию d от центра до плоскости. Так как OO₁ перпендикулярен плоскости, а O₁A лежит в ней, угол при O₁ прямой. По теореме Пифагора R² = r² + d², откуда r² = R² − d².

Значение d показывает, как расположена плоскость относительно сферы. При d < R получается окружность, при d = R радиус сечения равен нулю и остаётся одна точка, а при d > R действительного сечения нет. Формула помогает не только вычислить радиус окружности, но и проверить, возможно ли пересечение вообще. Радиус r становится равным R только тогда, когда d = 0, то есть плоскость проходит через центр.

Пусть A — точка сферы, а плоскость проходит через A перпендикулярно радиусу OA. Для любой другой точки X этой плоскости отрезок AX перпендикулярен OA, поэтому треугольник OAX прямоугольный. По теореме Пифагора OX² = OA² + AX²; при X, отличной от A, расстояние OX больше R, и X не лежит на сфере. Значит, у плоскости со сферой только одна общая точка — A, поэтому она касательная.

Положение плоскости относительно сферы

Сначала сравните расстояние d с радиусом сферы R — так определяются вид пересечения и число общих точек. Если d меньше R, подставьте значения в формулу для радиуса окружности сечения. При равенстве расстояние до плоскости показывает, что она касательная, а значение больше R означает, что плоскость проходит мимо сферы.

Разбор задач

Задача 1. Радиус сферы равен 5 см. Найдите радиус сечения плоскостью, удалённой от центра сферы на 3 см. Секущая плоскость не проходит через центр, поэтому радиус сечения меньше радиуса сферы. Обозначим его r и применим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы, расстоянием до плоскости и радиусом сечения.

1. Запишем данные: R = 5 см, d = 3 см. Из теоремы Пифагора следует R² = r² + d².
2. Выразим неизвестное: r² = R² − d² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16.
3. Так как радиус — положительная длина, получаем r = √16 = 4 см. Проверка: 4² + 3² = 5².

Ответ: 4 см. Проверка заодно подтверждает, что найденное сечение возможно: 3 см меньше радиуса сферы 5 см.

Задача 2. Радиус сферы равен 13 см, радиус её сечения плоскостью — 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости. Теперь известны гипотенуза OA и один катет O₁A прямоугольного треугольника. Расстояние до плоскости — второй катет, поэтому нужно выразить его из теоремы Пифагора.

1. Обозначим расстояние от центра до плоскости через d. Запишем связь между величинами: R² = r² + d².
2. Перенесём r²: d² = R² − r² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
3. Из равенства d² = 144 получаются значения 12 и −12, но расстояние не бывает отрицательным. Поэтому выбираем d = 12 см.

Ответ: 12 см. Это расстояние меньше радиуса сферы, следовательно, плоскость действительно пересекает её по окружности.

Задача 3. Из точки вне сферы проведены касательные плоскости. Докажите, что отрезки перпендикуляров, опущенных из центра сферы на эти плоскости, равны. Пусть центр сферы — O, а основания перпендикуляров на плоскости — A₁ и A₂. Нужно сравнить расстояния OA₁ и OA₂, то есть расстояния от центра до плоскостей.

1. Поскольку плоскости касательные, каждый отрезок OA₁ и OA₂ перпендикулярен соответствующей плоскости.
2. Расстояние от центра сферы до касательной плоскости равно радиусу. Значит, OA₁ = R и OA₂ = R.
3. Следовательно, OA₁ = OA₂. Доказательство не зависит от того, как расположена внешняя точка: для каждой касательной расстояние от центра до неё одинаково.

Ответ: отрезки перпендикуляров равны радиусу сферы, поэтому равны между собой.

Типичные ошибки

Шар иногда называют только его поверхность, потому что в речи эти слова могут звучать как названия одного предмета. Но в геометрии сфера — граница, а шар содержит ещё и внутренние точки. Проверяйте определение: если речь идёт о точках на расстоянии ровно R, это сфера; если расстояние не больше R — шар.

Можно ошибочно принять радиус сечения за радиус всей сферы, поскольку оба обозначают расстояния от центра соответствующих окружностей. Радиус сечения равен R только при d = 0, когда плоскость проходит через центр. Для проверки сравните радиус сечения с радиусом сферы: при d > 0 должно быть r < R.

В формуле r² = R² − d² легко перепутать радиус окружности сечения r и расстояние от центра до плоскости d. Это происходит потому, что оба отрезка входят в один прямоугольный треугольник. Перед подстановкой подпишите каждую величину на схеме или словами: r лежит в плоскости, d перпендикулярен ей.

Не следует считать плоскость касательной только потому, что она расположена рядом со сферой. Если расстояние от центра до плоскости меньше R, плоскость пересекает сферу, а если больше R — не имеет с ней общих точек. Проверьте условие d = R: оно необходимо для касания и гарантирует ровно одну общую точку.

Связь с другими темами

Для работы с этой темой нужны понятия расстояния между точками и расстояния от точки до плоскости. Также важно помнить свойства перпендикуляра: он задаёт кратчайшее расстояние от точки до плоскости. Теорема Пифагора связывает радиус сферы, радиус сечения и расстояние до плоскости. Эти знания пригодятся при изучении сечений тел и взаимного расположения сферы с плоскостью.

Что запомнить

• Все точки сферы удалены от её центра на одно и то же расстояние R.
• Шар состоит из сферы и всех точек внутри неё.
• Сечение сферы плоскостью — окружность, если плоскость пересекает сферу.
• Центр окружности сечения — проекция центра сферы на плоскость.
• Для радиуса сечения r, радиуса сферы R и расстояния d верно r² = R² − d².
• Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
• Расстояние от центра сферы до касательной плоскости равно радиусу сферы.