"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Усечённый конус — часть конуса между основанием и параллельным ему сечением. У него два круглых основания разных размеров, боковая поверхность и высота, перпендикулярная основаниям. Знание его элементов помогает находить длину образующей и площади поверхностей. Для этого используют осевое сечение: равнобедренную трапецию, в которой связь высоты, радиусов и образующей выводится по теореме Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Усечённый конус — тело, полученное отсечением части конуса плоскостью, параллельной его основанию; оставшаяся часть и называется усечённым конусом. У неё нет вершины исходного конуса, но сохраняется его боковая поверхность. Такое определение помогает понять, откуда берутся форма тела и его элементы.
Основания усечённого конуса — два круга, лежащие в параллельных плоскостях. Радиус большего основания обозначают R, меньшего — r, причём R > r. Радиусы нужны для вычисления площадей кругов и описания размеров тела.
Высота усечённого конуса — расстояние между плоскостями его оснований; обозначают её буквой h. Она перпендикулярна обеим плоскостям, а не идёт вдоль наклонной боковой поверхности. Высота нужна при вычислении образующей и помогает отличать её от других отрезков.
Образующая усечённого конуса — отрезок боковой поверхности, соединяющий окружности оснований; его длину обозначают l. Образующая наклонена к основаниям, поэтому обычно не равна высоте. Её длина используется и в соотношении элементов, и в формуле боковой площади.
Чтобы получить усечённый конус, исходный конус пересекают плоскостью, параллельной его основанию, и убирают часть с вершиной. Параллельность сечения основанию означает, что линия пересечения тоже является окружностью. Оставшееся основание конуса и круг сечения лежат в параллельных плоскостях, поэтому тело получает два основания. Их радиусы различны: круг сечения меньше исходного основания.
Боковая поверхность не становится плоской при отсечении вершины. Её границу образуют отрезки прямых образующих исходного конуса, расположенные между окружностями оснований. Поэтому отрезок, соединяющий соответствующие точки окружностей по боковой поверхности, называют образующей усечённого конуса. Высота же определяется не наклоном этих отрезков, а расстоянием между плоскостями оснований, измеренным по перпендикуляру.
Если провести через ось конуса плоскость, получится осевое сечение. Оно пересекает круглые основания по диаметрам, длины которых равны 2R и 2r. Эти диаметры параллельны, потому что плоскости оснований параллельны; боковые стороны сечения — образующие, а они равны. Значит, осевое сечение представляет собой равнобедренную трапецию с высотой h, основаниями 2R и 2r и боковыми сторонами l.
Из трапеции удобно вывести формулу для образующей. Если опустить перпендикуляр от конца меньшего основания на большее, то у края образуется прямоугольный треугольник. Один его катет равен высоте h, а другой — половине разности оснований трапеции: (2R − 2r) / 2 = R − r. Гипотенуза этого треугольника — образующая l, поэтому по теореме Пифагора l² = h² + (R − r)².
Для вычисления боковой площади мысленно разрежем поверхность по образующей и развернём её на плоскости. Получится сектор кольца, а его радиальная ширина равна длине образующей l. Длина дуги, соответствующей большему основанию, равна 2πR, меньшему — 2πr; среднее этих длин равно π(R + r). Площадь такого сектора кольца выражается произведением средней длины граничных дуг на ширину l, поэтому Sбок = π(R + r)l.
| Элемент или характеристика | Обозначение и формула |
|---|---|
| Радиусы оснований: R — большего, r — меньшего; R > r | R, r |
| Высота: расстояние между плоскостями оснований | h |
| Образующая: отрезок боковой поверхности между основаниями | l |
| Связь высоты, радиусов и образующей | l² = h² + (R − r)² |
| Площадь боковой поверхности | Sбок = π(R + r)l |
| Площадь полной поверхности | Sполн = π(R + r)l + πR² + πr² |
Сначала определите, какие величины известны и что требуется найти. Если нужна образующая, используйте соотношение с высотой и разностью радиусов; если нужна площадь, выберите формулу боковой или полной поверхности. При вычислении полной площади не забудьте учесть оба круга-основания.
Радиусы оснований равны 5 см и 2 см, высота — 4 см. Нужно найти образующую. Больший радиус R = 5 см, меньший r = 2 см, поэтому сначала находим разность радиусов, а затем применяем связь из осевого сечения.
Ответ: 5 см. Проверка по теореме Пифагора показывает, что образующая — гипотенуза, поэтому она длиннее каждого катета.
Радиусы оснований равны 6 см и 3 см, образующая — 5 см. Требуется площадь только боковой поверхности, значит площади кругов прибавлять не нужно. Подставим данные в формулу Sбок = π(R + r)l.
Ответ: 45π см², или приблизительно 141,3 см². Квадратные сантиметры указывают, что найдена площадь, а не длина.
Радиусы оснований равны 8 см и 4 см, высота — 3 см. Полная поверхность включает боковую поверхность и оба основания, но образующая пока неизвестна. Поэтому сначала найдём её, а затем последовательно вычислим все три площади.
Ответ: 140π см², или приблизительно 439,6 см². В вычислениях сначала использовали разность радиусов для образующей, а сумму — для боковой площади.
Образующую иногда принимают за высоту, потому что обе величины соединяют области у оснований. Но образующая наклонена, а высота перпендикулярна плоскостям оснований; в осевом сечении они становятся гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника. Проверьте, что для нахождения образующей вы используете l² = h² + (R − r)², а не равенство l = h.
В формулу площади боковой поверхности могут по ошибке подставить разность радиусов. Эту разность используют в формуле образующей, поскольку она задаёт горизонтальный катет осевого сечения; площадь же равна Sбок = π(R + r)l. Перед подстановкой сверьте цель вычисления: для длины образующей нужна разность, для боковой площади — сумма.
При нахождении образующей иногда складывают радиусы, перенося в эту формулу правило для боковой площади. В осевом сечении горизонтальный катет равен половине разности диаметров: (2R − 2r) / 2 = R − r. Чтобы проверить выбор, посмотрите на трапецию: её основания отличаются на 2R − 2r, а отступ с каждой стороны составляет R − r.
В полной площади можно учесть только одно основание, потому что внимание сосредоточено на боковой поверхности. Но у усечённого конуса два круга, и площади обоих должны войти в сумму: πR² и πr². Проверьте формулу полной площади по составу поверхности: боковая часть плюс верхнее и нижнее основания.
Для работы с усечённым конусом нужны знакомые элементы конуса и цилиндра, а также понятия радиуса, высоты и образующей. При вычислении длины образующей применяется теорема Пифагора. Поэтому важно различать перпендикулярную высоту и наклонную боковую сторону.
Осевое сечение связывает стереометрию с планиметрией. Его можно рассматривать как равнобедренную трапецию, а отдельные части — как прямоугольные треугольники. Такой переход помогает увидеть, откуда берутся формулы и как использовать их в задачах.
Формулы площади поверхности применяют в стереометрических задачах, где нужно сравнивать или находить площади частей тела. Развёртка показывает, как пространственная поверхность превращается в плоскую фигуру. Это полезно и в практических задачах, например при расчёте материала для изготовления предмета.
Чем усечённый конус отличается от конуса?
У конуса одно круглое основание и вершина, а боковая поверхность сходится к этой вершине. Усечённый конус получают, отсекая вершину конуса плоскостью, параллельной основанию, поэтому у него два круглых основания разного радиуса.
Почему осевое сечение усечённого конуса является трапецией?
Осевое сечение проходит через ось конуса и пересекает оба основания по их диаметрам. Эти диаметры параллельны, а боковые стороны сечения — равные отрезки образующих, поэтому получается равнобедренная трапеция.
Как найти образующую, если известны высота и радиусы оснований?
В осевом сечении образующая — боковая сторона трапеции, а её высота и разность радиусов образуют с ней прямоугольный треугольник. Поэтому l = √(h² + (R − r)²).
Почему в формуле площади боковой поверхности складываются радиусы?
При развёртке боковая поверхность становится сектором кольца, площадь которого связана со средней длиной окружностей оснований. Среднее радиусов равно (R + r) / 2, и после учёта обеих окружностей получается формула Sбок = π(R + r)l.
Как найти площадь полной поверхности усечённого конуса?
Сложите площадь боковой поверхности с площадями двух оснований: Sполн = π(R + r)l + πR² + πr². Если образующая не дана, сначала найдите её по формуле l = √(h² + (R − r)²).
63. Усеченный конус
