2.3. Усеченный конус

Определения и обозначения

Усечённый конус — часть конуса, расположенная между его основанием и сечением, параллельным основанию. Чтобы получить её, мысленно отрежь от конуса верхушку такой плоскостью и оставь часть с исходным основанием. Это определение помогает представить форму тела и понять, откуда у него берутся два основания.

Основания усечённого конуса — два круга, лежащие в параллельных плоскостях. Радиус большего круга обозначают R, а меньшего — r, причём R > r. Разные обозначения позволяют не перепутать размеры оснований в формулах площади и объёма.

Высота усечённого конуса — расстояние h между плоскостями его оснований. Она измеряется по перпендикуляру к этим плоскостям, а не вдоль боковой поверхности. Высота нужна, чтобы вычислить объём и связать размеры тела с его образующей.

Образующая усечённого конуса — отрезок боковой поверхности, который соединяет окружности оснований; его длину обозначают l. В отличие от высоты, образующая наклонена к плоскостям оснований. Она входит в формулу площади боковой поверхности.

Как это устроено

Представь полный конус и проведи через него плоскость параллельно основанию. Сечение будет кругом: параллельность сохраняет форму основания, хотя размер круга становится меньше. Если отсечь верхнюю часть конуса, оставшаяся между основанием и сечением часть и будет усечённым конусом.

Осевое сечение проходит через ось усечённого конуса, то есть через прямую, соединяющую центры его оснований. В каждом круге сечение даёт диаметр, поэтому параллельные основания трапеции равны 2R и 2r. Боковые стороны этой трапеции — образующие, а расстояние между её основаниями равно h, поскольку ось перпендикулярна плоскостям кругов. Трапеция равнобедренная: она получена из симметричного относительно оси конуса.

Опустим из края меньшего основания перпендикуляр на большее основание осевого сечения. Получится прямоугольный треугольник: его гипотенуза — образующая l, а один катет — высота h. Второй катет равен R − r, потому что радиусы оснований отличаются именно на эту величину. По теореме Пифагора l² = h² + (R − r)².

Чтобы получить боковую поверхность, её можно развернуть в плоскую фигуру — сектор кольца. Длина дуги внешнего края развёртки равна 2πR, а внутреннего — 2πr; площадь такой фигуры выражается через полусумму этих длин и образующую. Поэтому Sбок = ½(2πR + 2πr)l = π(R + r)l. Формула учитывает оба радиуса, поскольку боковая поверхность соединяет обе окружности.

Объём усечённого конуса удобно найти вычитанием: из объёма полного конуса убирают объём отсечённого малого конуса. Пусть высота полного конуса равна H, а высота малого — x, тогда H − x = h. По подобию конусов x / H = r / R, откуда x = hr / (R − r), а H = hR / (R − r). Подставляя эти высоты в формулу объёма конуса и вычитая, получаем V = πh(R² + Rr + r²) / 3.

Элементы и основные формулы усечённого конуса

Сначала определи, какие величины известны, и выбери строку с нужным результатом. Если требуется боковая площадь, понадобится образующая; когда её нет, найди её по теореме Пифагора. Для полной площади не забудь прибавить площади обоих кругов.

Разбор задач

Задача 1. По чертежу усечённого конуса нужно указать основания, радиусы, высоту и образующую. Числовых данных нет, поэтому требуется распознать элементы по их положению. Различай перпендикулярное расстояние между плоскостями и наклонный отрезок на боковой поверхности.

1. Найди два параллельных круга: это основания усечённого конуса. Их радиусы проведены от центров кругов к их окружностям. Большему радиусу присвой обозначение R, меньшему — r.
2. Высотой будет перпендикуляр между плоскостями оснований, обозначим его h. Отрезок, который наклонно соединяет окружности этих оснований по боковой поверхности, — образующая l. Проверь, что эти два отрезка не перепутаны: высота образует прямой угол с основаниями.

Ответ: основания — два параллельных круга; их радиусы R и r, где R > r; высота — перпендикулярное расстояние h, образующая — наклонный отрезок l.

Задача 2. Радиусы оснований равны 7 см и 3 см, высота — 3 см. Нужно найти образующую и площадь боковой поверхности. Разность радиусов задаёт горизонтальный катет в осевом сечении, а высота — вертикальный. Поэтому сначала найдём гипотенузу этого прямоугольного треугольника.

1. Вычислим разность радиусов: R − r = 7 − 3 = 4 см. По формуле l² = h² + (R − r)² получаем l² = 3² + 4² = 25. Значит, l = 5 см.
2. Для боковой площади используем сумму радиусов и найденную образующую: Sбок = π(R + r)l. Подставим значения: Sбок = π(7 + 3) · 5 = 50π см². Здесь площади оснований не прибавляем, потому что требуется только боковая поверхность.

Ответ: образующая равна 5 см, площадь боковой поверхности — 50π см².

Задача 3. Радиусы оснований равны 6 см и 2 см, высота — 9 см. Найдём объём и площадь полной поверхности. Для объёма достаточно подставить радиусы и высоту, а для полной площади сначала понадобится образующая. После этого добавим площади обоих оснований.

1. Вычислим объём: V = π · 9(6² + 6 · 2 + 2²) / 3 = 3π(36 + 12 + 4) = 156π см³. В формулу входит высота 9 см, а не образующая. Скобки содержат квадраты радиусов и их произведение.
2. Найдём образующую: l² = 9² + (6 − 2)² = 81 + 16 = 97, поэтому l = √97 см. Боковая площадь равна π(6 + 2)√97 = 8π√97 см². Площади оснований составляют 36π и 4π см².
3. Сложим три части поверхности: Sпол = 8π√97 + 36π + 4π = (8√97 + 40)π см². Ответ можно оставить в точном виде, не округляя корень. Проверка: полная площадь больше боковой, поскольку к ней прибавлены два положительных слагаемых.

Ответ: V = 156π см³; Sпол = (8√97 + 40)π см².

Типичные ошибки

Путать высоту и образующую — значит подставлять наклонную длину вместо перпендикулярного расстояния или наоборот. Это происходит потому, что обе величины соединяют верхнюю и нижнюю части тела, но направлены по-разному. Проверь на осевом сечении: высота перпендикулярна основаниям, а образующая является боковой стороной трапеции.

В формуле боковой площади ошибочно оставлять только один радиус, например писать πRl. Так делают, вспоминая формулу площади конуса, у которого одно основание и одна окружность. Для усечённого конуса нужны обе окружности, поэтому в выражении стоит сумма R + r; сверяй её с формулой развёртки.

При вычислении полной площади иногда прибавляют только πR² или вообще забывают основания. Причина — смешение понятий «боковая» и «полная» поверхность. Проверь состав поверхности: у тела две закрытые круглые части, значит, к боковой площади нужно добавить πR² и πr².

Подставлять образующую в формулу объёма или терять множитель πh / 3 нельзя: объём связан с перпендикулярной высотой. Такая ошибка возникает при переносе величин из формулы для боковой площади или при невнимательном чтении выражения. Перед вычислением подпиши единицы: высота и радиусы измеряются в сантиметрах, а объём должен получиться в кубических сантиметрах.

Связь с другими темами

Для работы с усечённым конусом нужно знать элементы обычного конуса, площадь круга πr² и объём конуса πr²h / 3. Теорема Пифагора связывает высоту, образующую и разность радиусов. Подобие треугольников объясняет, как соотносятся размеры полного и отсечённого конусов при выводе объёма.

Эти знания пригодятся при решении задач о телах вращения, например о деталях, похожих на воронку или усечённый стакан. Усечённый конус также может быть частью составного тела: тогда его объём или площадь находят отдельно и объединяют результаты с учётом условия задачи. Умение различать элементы помогает выбрать правильную формулу.

Что запомнить

• Основания усечённого конуса — два параллельных круга.
• Высота h — расстояние между плоскостями оснований.
• Образующая l связана с высотой и разностью радиусов: l² = h² + (R − r)².
• Площадь боковой поверхности равна π(R + r)l.
• Площадь полной поверхности равна π(R + r)l + πR² + πr².
• Объём равен πh(R² + Rr + r²) / 3.