19.4. Усеченный конус

Определения и обозначения

Усечённый конус — часть конуса, заключённая между его основанием и сечением плоскостью, параллельной основанию. Такая фигура получается после удаления верхнего, меньшего конуса. Это определение помогает представить усечённый конус не как отдельное случайное тело, а как часть обычного конуса.

Основания усечённого конуса — два круга, полученные исходным основанием конуса и параллельным ему сечением. Их радиусы обозначают R и r, причём обычно R > r. Радиусы нужны для вычисления площадей кругов, боковой поверхности и объёма.

Высота усечённого конуса — перпендикулярное расстояние между плоскостями его оснований; это расстояние обозначают h. Высота направлена не вдоль боковой поверхности, а под прямым углом к обоим основаниям. Она входит в формулу объёма и в связь между основными элементами.

Образующая усечённого конуса — отрезок боковой поверхности, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований; её обозначают l. В отличие от высоты, образующая обычно наклонена к основаниям. Она используется прежде всего при нахождении площади боковой поверхности.

Как это устроено

Если пересечь конус плоскостью, параллельной основанию, верхняя часть отделится и образует меньший конус. Это происходит потому, что все отрезки сечения, параллельные основанию, дают круги, а вершина исходного конуса остаётся общей для верхней части. Нижняя часть между большим основанием и сечением и называется усечённым конусом.

Меньший конус подобен исходному: у них общий угол при вершине, а соответствующие сечения параллельны. Поэтому их основания являются подобными кругами, а отношение радиусов равно отношению соответствующих высот. Центры обоих кругов лежат на одной прямой — оси исходного конуса, поскольку ось проходит через вершину и центр основания.

Проведём сечение усечённого конуса плоскостью через его ось. Каждый круг пересечётся по диаметру, а боковые стороны сечения будут образующими. В результате получится равнобедренная трапеция с основаниями 2R и 2r, высотой h и боковыми сторонами l. Если из неё опустить перпендикуляр, горизонтальный катет в образовавшемся прямоугольном треугольнике будет равен R − r, поэтому по теореме Пифагора l² = h² + (R − r)².

Развёртка боковой поверхности представляет собой часть кольца, ограниченную двумя дугами. Длина внешней дуги связана с большим радиусом, а внутренней — с меньшим, поэтому площадь этой части зависит от суммы R + r. После вычисления площади кольцевого сектора получают формулу Sбок = π(R + r)l.

Объём усечённого конуса удобно найти вычитанием: из объёма исходного конуса убрать объём отсечённого малого конуса. Благодаря подобию высоты и радиусы этих конусов связаны, и после подстановки и упрощения получается V = πh(R² + Rr + r²)⁄3. Слагаемое Rr появляется именно при преобразовании разности кубов, поэтому оно необходимо.

Элементы и основные формулы усечённого конуса

Таблицу удобно использовать как алгоритм: сначала выпишите известные R, r, h и l, затем выберите нужную характеристику. Если известны высота и радиусы, сначала найдите образующую. Для полной поверхности не забудьте добавить оба основания к боковой площади.

Разбор задач

Задача 1

Дано: R = 5 см, r = 3 см, h = 4 см. Требуется найти образующую и площадь боковой поверхности. Сначала определим наклонный элемент по осевому сечению, затем подставим его в формулу площади.

1. Разность радиусов: R − r = 5 − 3 = 2 см.
2. Образующая: l = √(4² + 2²) = √20 = 2√5 см.
3. Sбок = π(5 + 3) · 2√5 = 16π√5 см².

Ответ: l = 2√5 см, Sбок = 16π√5 см². Радиусы складываются только в формуле боковой площади, а в теореме Пифагора используется их разность.

Задача 2

Дано: R = 8 см, r = 3 см, h = 12 см. Нужно найти полную площадь и объём. Для площади сначала найдём образующую, потому что без неё нельзя вычислить боковую поверхность.

1. l = √(12² + (8 − 3)²) = √169 = 13 см.
2. Sбок = π(8 + 3) · 13 = 143π см².
3. Sполн = 143π + 64π + 9π = 216π см².
4. V = π · 12(8² + 8 · 3 + 3²)⁄3 = 4π(64 + 24 + 9) = 388π см³.

Ответ: Sполн = 216π см², V = 388π см³. Единицы площади и объёма различаются: см² для поверхности и см³ для объёма.

Задача 3

Дано: V = 91π см³, R = 4 см, r = 3 см, l = √10 см. Найдём высоту из формулы объёма, а затем проверим, согласуются ли данные с образующей. После этого вычислим полную поверхность.

1. 91π = πh(16 + 12 + 9)⁄3, поэтому h = 273⁄37 см.
2. Проверка: l² − (R − r)² = 10 − 1 = 9, значит h = 3 см.
3. Полученные значения противоречат друг другу: объём при h = 3 см равен 37π см³, а не 91π см³.

Ответ: условие содержит несогласованные данные, поэтому единой полной площади для него нет. Проверка по осевому сечению помогает обнаружить ошибку до вычисления площади.

Типичные ошибки

Иногда усечённый конус принимают за цилиндр и считают l = h. Так бывает, потому что оба тела имеют параллельные основания, но у конуса боковые отрезки наклонены. Проверяйте себя по формуле l² = h² + (R − r)²: равенство l = h возможно только при R = r, то есть в цилиндре.

Другая ошибка — использовать πRl или πrl для боковой площади. Такие формулы не учитывают оба радиуса и потому описывают не усечённый конус. Правильная проверка — убедиться, что в формуле стоит среднее арифметическое радиусов, умноженное на длину окружности: Sбок = π(R + r)l.

При вычислении объёма иногда записывают R² + r² и пропускают Rr. Это происходит из-за сходства формулы с суммой площадей оснований, но объём определяется разностью двух подобных конусов. Перепишите выражение целиком: R² + Rr + r².

Наконец, в формуле для образующей ошибочно берут R + r. Горизонтальный катет осевого сечения равен расстоянию между краями радиусов, то есть R − r. Если радиусы подставлены правильно, при R = r формула даёт l = h, что служит полезной проверкой.

Связь с другими темами

Для изучения усечённого конуса нужны свойства обычного конуса, площадь круга, теорема Пифагора и подобие треугольников. Подобие объясняет связь двух оснований, а осевое сечение позволяет применять известные свойства трапеции и прямоугольного треугольника.

Развёртка боковой поверхности связывает тему с площадями тел вращения и наглядно объясняет формулу боковой площади. В дальнейшем формулы усечённого конуса используются при вычислении объёмов и площадей составных тел, например деталей, состоящих из цилиндра и конической части.

Что запомнить

• Усечённый конус получается сечением конуса плоскостью, параллельной основанию.
• У него два параллельных основания с радиусами R и r.
• В осевом сечении усечённый конус изображается равнобедренной трапецией.
• Связь между образующей, высотой и радиусами: l² = h² + (R − r)².
• Площадь боковой поверхности: Sбок = π(R + r)l.
• Объём: V = πh(R² + Rr + r²)⁄3.
• Полная площадь равна сумме боковой площади и площадей двух оснований.