19.5. Изображения конусов и усечённых конусов вращения

Определения и обозначения

Конус вращения — тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Этот катет образует ось конуса, его конец — вершину, а круг, описываемый вторым катетом, становится основанием. Расстояние от вершины до плоскости основания, измеренное перпендикулярно ей, называют высотой.

Образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину с точкой окружности основания. В прямоугольном треугольнике, из вращения которого построен конус, образующей соответствует гипотенуза. Она, ось конуса и радиус основания образуют прямоугольный треугольник, поэтому образующую нельзя путать с высотой.

Усечённый конус вращения получается, если часть конуса отсечь плоскостью, параллельной основанию. У оставшегося тела два круглых основания — большее и меньшее, расстояние между их плоскостями называют высотой. Образующая усечённого конуса соединяет точки окружностей его оснований по боковой поверхности.

Изображение тела вращения — плоский чертёж, который условно передаёт форму пространственного тела. На нём видимые части показывают сплошными линиями, а закрытые от взгляда — штриховыми. Такое различение помогает понять форму тела, хотя чертёж не сохраняет все пространственные размеры и углы.

Как это устроено

Представим прямоугольный треугольник и вращение вокруг одного из его катетов. Этот катет остаётся на месте и становится осью, а противоположный катет движется по окружности, задавая основание конуса. Его длина не меняется, поэтому она равна радиусу основания. Гипотенуза при вращении описывает боковую поверхность, а её отрезок от вершины до окружности основания является образующей.

Чтобы построить конус на плоском чертеже, сначала изображают основание в виде эллипса: так условно передают круг в пространстве. Через центр основания проводят ось, перпендикулярную плоскости круга, и отмечают на ней вершину. Затем вершину соединяют с точками контура основания; эти линии задают образующие и очерчивают боковую поверхность. Высоту показывают от вершины к центру основания, поскольку именно центр лежит на оси.

Не все линии конуса видны наблюдателю одновременно: часть боковой поверхности заслоняет дальнюю часть основания. Переднюю часть контура проводят сплошной линией, а скрытую заднюю дугу — штриховой. То же правило применяют к образующим, если какая-либо из них уходит за видимую поверхность. Такое обозначение не означает, что скрытая часть отсутствует: она лишь закрыта телом при выбранном направлении взгляда.

Если конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, сечение будет кругом, подобным основанию. Плоскость отделит меньший конус у вершины, а оставшаяся часть станет усечённым конусом. На рисунке два основания усечённого конуса изображают эллипсами, потому что каждый круг показывают условно в перспективном плоском виде. Их центры располагают на одной оси: параллельные сечения исходного конуса имеют общий центр, лежащий на этой оси.

При построении усечённого конуса основания размещают в параллельных плоскостях и изображают двумя эллипсами с общим направлением оси. Размеры эллипсов должны отражать разные радиусы оснований: обычно верхнее основание меньше нижнего, если усечена верхушка конуса. Соответствующие точки контуров соединяют прямыми отрезками — образующими боковой поверхности. Ось проводят через центры оснований, а высоту показывают перпендикулярным расстоянием между их плоскостями; скрытые участки отмечают штрихами.

Элементы конуса и усечённого конуса и их изображение

Сверяйтесь с таблицей, когда размечаете элементы чертежа: сначала определите, какое тело изображено, затем отметьте его основания и ось. После этого добавьте высоту и образующие, не называя одно другим. В конце проверьте, какие линии видны при выбранном направлении взгляда.

Разбор задач

Задача 1. Построить изображение конуса вращения, указав основание, вершину, ось и высоту. Поскольку числовые размеры не заданы, требуется схематичный чертёж, передающий взаимное расположение элементов. Важно сначала определить положение основания и его центра, а уже от них строить остальные линии. Проверим, что вершина лежит на оси, а высота перпендикулярна плоскости основания.

1. Наметьте эллипс и обозначьте его центр O. Эллипс изображает круг основания, а центр нужен для проведения оси. Его переднюю видимую дугу проведите сплошной линией, заднюю, если она скрыта, — штриховой.

2. Через O проведите ось и отметьте на ней точку S выше основания. Перпендикулярность оси плоскости основания передаётся условно принятым направлением оси на чертеже. Выберите точку S так, чтобы тело было удобно читать.

3. Соедините S с O отрезком SO и обозначьте его как высоту. Затем соедините S с точками контура эллипса: так намечаются образующие и боковая поверхность. Проверьте, что SO идёт к центру, а не к краю основания.

Ответ: основание — эллипс, изображающий круг; вершина — S; ось проходит через S и O; высота — SO. Штриховые участки обозначают только те части контура, которые в выбранном виде закрыты.

Задача 2. Изобразить конус с радиусом основания r и высотой h, отметить образующую и определить видимые части контура. Размеры заданы буквами, поэтому чертёж строят схематично, сохраняя смысл обозначений. Радиус откладывают в плоскости основания, высоту — перпендикулярно этой плоскости. Образующую нужно провести к окружности, а не к её центру.

1. Постройте эллипс основания и отметьте центр O. Проведите от O к контуру отрезок длиной, условно соответствующей r, и подпишите его. Так радиус окажется связан с изображённым кругом, а не с боковой поверхностью.

2. Через O проведите ось, отложите на ней высоту h и обозначьте конец отрезка вершиной S. Перпендикулярное положение оси к основанию задаёт геометрию конуса. Отрезок SO подпишите h.

3. Выберите точку A на окружности и соедините её с S: SA — образующая. Если требуется найти её длину, используйте прямоугольный треугольник SOA: SA² = h² + r², значит SA = √(h² + r²). Эту формулу можно применять, потому что SO перпендикулярен радиусу OA.

4. Определите видимость линий по выбранному направлению взгляда. Переднюю часть контура и видимые образующие проведите сплошными, скрытые участки — штриховыми. Не меняйте начертание только ради того, чтобы показать все элементы сплошными.

Ответ: конус строится по основанию, оси и высоте; образующая SA соединяет вершину с точкой окружности. Её длина связана с заданными величинами формулой SA = √(h² + r²). Видимые линии сплошные, невидимые — штриховые.

Задача 3. Изобразить усечённый конус с радиусами оснований R и r и высотой h, показать ось, высоту, образующие и невидимые части. Сначала нужно согласовать центры оснований: они должны лежать на одной оси, а сами основания — в параллельных плоскостях. Затем строят контуры и связывают их боковой поверхностью. Схематичный рисунок не обязан передавать масштаб точно, но должен сохранять взаимное расположение элементов.

1. Наметьте два параллельных эллипса с центрами O₁ и O₂ на одной прямой. Больший эллипс соответствует радиусу R, меньший — радиусу r. Отметьте радиусы от центров к контурам, чтобы не перепутать их с высотой.

2. Проведите через O₁ и O₂ ось. Расстояние между плоскостями оснований обозначьте перпендикулярным отрезком длины h. Высота усечённого конуса не является наклонным боковым ребром, поэтому её нельзя откладывать вдоль образующей.

3. Соедините соответствующие точки эллипсов прямыми отрезками, например крайние точки видимого контура. Эти отрезки изображают образующие боковой поверхности. Проверьте, что они связывают оба основания, а не сходятся в отдельной вершине.

4. Оцените видимость контура с выбранной стороны. Видимые дуги оснований и образующие проведите сплошными, закрытые телом части — штриховыми. Сохраните соосность эллипсов и обозначьте R, r и h у соответствующих элементов.

Ответ: усечённый конус изображён двумя соосными эллипсами, соединёнными образующими; ось проходит через их центры, а высота равна перпендикулярному расстоянию между основаниями. Невидимые дуги и образующие отмечены штриховыми линиями.

Типичные ошибки

Окружность основания рисуют как окружность. Так поступают, потому что основание действительно круглое, но на плоском чертеже круг обычно изображают эллипсом. Иначе изображение выглядит так, будто наблюдатель смотрит прямо в плоскость основания, и пространственная форма читается хуже. Проверьте себя: если остальные части тела показаны в перспективном виде, круг основания также должен быть передан условным эллипсом.

Ось проводят наклонно к плоскости основания. Ошибка возникает, когда ось принимают за одну из боковых образующих или пытаются нарисовать её «для объёма». По определению ось перпендикулярна основанию и проходит через его центр, поэтому наклонная линия не может обозначать её. Проверьте, что ось конуса соединяет вершину с центром, а у усечённого конуса проходит через центры обоих оснований.

Образующую принимают за высоту. Эти отрезки легко перепутать, потому что оба относятся к боковой поверхности и начинаются у вершины конуса. Высота идёт перпендикулярно основанию к его центру, а образующая — наклонно к точке окружности; проверить различие помогает прямоугольный треугольник с катетами h и r. На рисунке убедитесь, что высота не упирается в край основания.

Все линии проводят сплошными. Это делают, чтобы чертёж казался проще, но тогда скрытая задняя часть основания может выглядеть видимой. Условное начертание сообщает, какие детали закрыты телом: видимые линии сплошные, невидимые штриховые. Проверьте рисунок, мысленно выбрав направление взгляда, и измените тип линии у заслонённых участков.

Связь с другими темами

Для построения изображений нужны знания об окружности и её радиусе, а также о перпендикулярности прямой и плоскости. Полезно уметь различать ось и высоту и передавать пространственные фигуры на плоскости; похожие элементы встречаются при изучении цилиндра. Эти правила понадобятся при построении сечений конуса и усечённого конуса. Они также помогают разбирать развёртки, площади поверхностей и объёмы тел вращения.

Что запомнить

• Основание конуса вращения — круг.
• Ось конуса перпендикулярна плоскости основания и проходит через его центр.
• Высота соединяет вершину с плоскостью основания перпендикулярно этой плоскости.
• Образующая соединяет вершину с точкой окружности основания.
• Усечённый конус получают сечением конуса плоскостью, параллельной основанию.
• Основания усечённого конуса параллельны, а их центры лежат на одной оси.
• На изображении видимые и невидимые линии различают начертанием.