19.3. Выпуклые конусы

Определения и обозначения

Конус с вершиной O — объединение лучей с началом O, проходящих через точки заданной фигуры. Точка O называется вершиной, а заданная фигура — направляющей. Вершина задаёт общее начало лучей, направляющая определяет, через какие точки они проходят.

Фигура называется выпуклой, если вместе с любыми двумя своими точками содержит весь соединяющий их отрезок. Например, если выбрать в выпуклой фигуре точки A и B, то ни одна часть отрезка AB не выйдет за её пределы. Это свойство позволяет проверять, сохраняется ли фигура при соединении её точек.

Конус называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками содержит отрезок, соединяющий эти точки. Проверять нужно точки из всего конуса, а не только из направляющей. Это определение помогает отличать выпуклые конусы от конусов с выемками или разрывами.

Образующая конуса — луч с началом в вершине, проходящий через точку направляющей фигуры. Например, для точки M направляющей образующая — луч OM. Образующая показывает одно из направлений, в которых построен конус; это именно луч, а не отрезок OM.

Как это устроено

Чтобы построить конус, сначала выбирают точку O и направляющую фигуру, обычно расположенную в плоскости, не проходящей через O. Затем через каждую точку направляющей проводят луч с началом O. Объединение всех таких лучей и есть конус: изменение точки на направляющей меняет направление луча, а общая вершина остаётся неизменной.

Почему выпуклая направляющая даёт выпуклый конус? Возьмём две точки конуса P и Q, не совпадающие с O, и посмотрим, где прямая PQ пересекает плоскость направляющей. Точки P и Q лежат на лучах, заданных точками направляющей; при переходе по отрезку PQ его пересечение с плоскостью соответствует точке между этими точками направляющей. Поскольку направляющая выпукла, эта точка принадлежит ей, а значит, луч через неё входит в конус и соединяющий P и Q отрезок остаётся внутри. Если одна из точек — O, отрезок до другой точки лежит на её образующей.

Проверка выпуклости по определению начинается с произвольной пары точек конуса. Нужно проследить не только за концами отрезка, но и за всеми его промежуточными точками: если хотя бы одна окажется снаружи, конус невыпуклый. Для доказательства достаточно показать, что всякий такой отрезок остаётся внутри; рассуждение только для точек одной образующей этого не устанавливает.

Плоское сечение помогает увидеть устройство конуса. Секущая плоскость пересекает лучи, выходящие из вершины, и получившееся сечение показывает, какие направления лучей проходят через выбранную часть пространства. Если плоскость сечения является плоскостью направляющей, точки пересечения лучей с ней и образуют направляющую. Сечение в другой плоскости может иметь иную форму, но по-прежнему показывает, как расположены лучи относительно вершины.

Вершина принадлежит конусу, потому что она лежит на каждом луче с началом O. Но она не является точкой направляющей: направляющая расположена в заданной плоскости, не проходящей через O. Поэтому вершина задаёт начало лучей, а точки направляющей задают места, через которые эти лучи проходят.

Элементы и признаки выпуклого конуса

Сначала определите, какая фигура задаёт направления лучей и где находится вершина. Затем используйте условие выпуклости как проверку для произвольной пары точек. Таблица помогает не путать элементы конуса с признаком, по которому устанавливают его выпуклость.

Разбор задач

1. Выпуклая направляющая

Условие. Дана выпуклая фигура в плоскости, не проходящей через точку O. Объясните, почему объединение лучей из O через её точки образует выпуклый конус. Нужно проверить определение для произвольных точек получившейся фигуры, а не только для точек направляющей.

1. Выберем две точки P и Q конуса. Если одна из них совпадает с O, весь отрезок до второй лежит на луче, поэтому принадлежит конусу.
2. Пусть обе точки отличны от O. Они лежат на лучах, заданных точками направляющей A и B; отрезок PQ пересекает плоскость направляющей в точке C.
3. Точка C лежит на отрезке AB. Так как направляющая выпукла, C принадлежит ей, а луч OC входит в конус. Отрезок PQ состоит из точек на лучах между соответствующими точками, поэтому целиком остаётся в конусе.

Ответ. Конус выпуклый: отрезок между любой парой его точек остаётся внутри него благодаря выпуклости направляющей.

2. Невыпуклая направляющая

Условие. Проверить, является ли объединение лучей из O через точки невыпуклой направляющей фигуры выпуклым конусом. Одного факта о невыпуклости направляющей недостаточно, чтобы автоматически вынести вердикт: нужно проверить точки самого конуса.

1. Найдём точки A и B направляющей, для которых часть отрезка AB выходит из неё. Такая пара существует по определению невыпуклости.
2. Возьмём на лучах OA и OB точки P и Q, соответствующие A и B. Выберем их на одинаковом расстоянии от плоскости направляющей вдоль лучей, чтобы отрезок PQ пересекал эту плоскость в точке отрезка AB вне направляющей.
3. Точка пересечения не принадлежит направляющей, поэтому соответствующее направление не входит в построенный конус. Значит, на отрезке PQ есть точка вне конуса.

Ответ. При такой проверке конус невыпуклый. В частности, можно заключить это, когда выбраны соответствующие точки на лучах, а отрезок между точками направляющей выходит из неё.

3. Точки на разных образующих

Условие. В конусе с вершиной O выбраны точки A и B на разных образующих. Обоснуйте, что отрезок AB целиком принадлежит конусу, если направляющая выпукла. Разные образующие важны: они показывают, что точки лежат в разных направлениях от общей вершины.

1. Обозначим через M и N точки направляющей, через которые проходят образующие OA и OB.
2. Рассмотрим прямую AB и её пересечение с плоскостью направляющей. Полученная точка лежит на отрезке MN, поскольку она отвечает переходу от одной образующей к другой.
3. Выпуклость направляющей означает, что отрезок MN целиком лежит в ней. Поэтому направление через точку пересечения принадлежит конусу, и отрезок AB не выходит из него.

Ответ. Отрезок AB принадлежит конусу; основание рассуждения — выпуклость направляющей и пересечение отрезка с её плоскостью.

Типичные ошибки

Считать любой конус выпуклым. Это неверно: форма направляющей может приводить к тому, что между двумя точками конуса окажется участок вне него. Ошибка возникает из-за привычного образа обычного круглого конуса. Проверьте себя: возьмите две произвольные точки и проследите весь отрезок между ними.

Называть направляющую основанием без уточнения. Направляющая задаёт точки, через которые проходят лучи, и не обязательно является основанием тела вращения. Слова смешивают, потому что в знакомых моделях роль плоской фигуры кажется одинаковой. Точнее называйте её направляющей фигурой и поясняйте, что именно она задаёт в определении.

Считать образующую отрезком от вершины до направляющей. Образующая — луч, поэтому она продолжается за точку направляющей. Путаница появляется, когда рассматривают только конечный кусок луча в рисунке. Проверьте определение: образующая начинается в вершине и проходит через точку направляющей.

Доказывать выпуклость только для одной образующей. На одной образующей отрезки действительно остаются внутри, но это не проверяет пары точек на разных образующих. Ошибка возникает из-за рассмотрения слишком простого случая. Для доказательства выбирайте произвольные две точки конуса и объясняйте, почему весь отрезок между ними принадлежит ему.

Связь с другими темами

Для работы с конусами нужны понятия луча, отрезка, плоскости и выпуклой фигуры: без них нельзя точно описать ни построение, ни проверку выпуклости. Рассмотрение пересечений лучей с плоскостью связывает тему с плоскими сечениями пространственных фигур. Позже то же свойство выпуклости пригодится при изучении многогранников, тел и их сечений: оно помогает понимать, остаются ли соединяющие точки отрезки внутри фигуры.

Что запомнить

• Конус образован лучами, выходящими из одной вершины.
• Точка, через которую проходит образующая, принадлежит направляющей фигуре.
• Выпуклая фигура содержит отрезок между любыми двумя своими точками.
• Выпуклый конус содержит отрезок между любыми двумя своими точками.
• Выпуклость проверяют для произвольной пары точек конуса.
• Выпуклость направляющей фигуры позволяет обосновать выпуклость соответствующего конуса.