"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Сечение конуса плоскостью, параллельной его основанию, является кругом. Такая плоскость делит конус на малый конус у вершины и усечённый конус у основания. Малый и исходный конусы подобны, поэтому их радиусы, высоты и образующие связаны одним коэффициентом k. Главное соотношение темы: r⁄R = h⁄H, с помощью которого находят радиус сечения, площади и объёмы получившихся тел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости основания, — фигура, полученная при пересечении конуса этой плоскостью. Такое сечение является кругом. Его радиус обычно обозначают r, а радиус основания конуса — R; это обозначение позволяет сравнивать два круга.
Усечённый конус — часть конуса, расположенная между его основанием и параллельным ему сечением. У неё два основания: большое радиуса R и малое радиуса r. Это понятие нужно, чтобы отдельно изучать часть тела, оставшуюся после отсечения конуса у вершины.
Подобие конусов означает, что малый конус и исходный конус имеют одинаковую форму, а их соответствующие радиусы, высоты и образующие пропорциональны. Малый конус получается у вершины благодаря сечению, параллельному основанию. Подобие превращает геометрическую задачу в вычисление отношений.
Коэффициент подобия — отношение соответствующих линейных размеров малого конуса к исходному. Его обозначают k и записывают: k = h⁄H = r⁄R. Он показывает, во сколько раз уменьшились все длины малого конуса.
Пусть плоскость пересекает конус на расстоянии h от вершины, а высота всего конуса равна H. Она пересекает каждую образующую, потому что образующая выходит из вершины и достигает основания, а плоскость расположена между ними. Если радиус основания равен R, радиус полученного сечения обозначим r.
Сечение является кругом, а не произвольной плоской фигурой, потому что его плоскость параллельна плоскости основания. В осевом сечении конуса это означает, что отрезок сечения параллелен отрезку основания. При вращении такой отрезок вокруг оси конуса получается окружность, ограничивающая круг сечения.
Вершина, сечение и основание образуют малый и исходный конусы. В осевом сечении их треугольники имеют общий угол при вершине, а углы при основаниях равны как соответственные при параллельных прямых. Поэтому треугольники подобны, а значит, подобны и конусы: их высоты, радиусы и образующие изменяются в одном отношении.
Из подобия следует равенство отношений r⁄R = h⁄H. Отсюда радиус сечения находят по формуле r = R·h⁄H. Если плоскость удалена от основания на расстояние x, то до вершины остаётся h = H − x, поэтому используется формула r = R·(H − x)⁄H.
Плоскость разделяет исходный конус на две части: малый конус у вершины и усечённый конус у основания. Объём усечённого конуса можно найти вычитанием объёма малого конуса из объёма исходного. Для площадей и образующих используют коэффициент подобия: площади связаны с k², а линейные размеры — с k.
| Свойство или величина | Исходный конус | Малый конус | Усечённый конус |
|---|---|---|---|
| Радиус основания или сечения | R | r = kR | два радиуса: R и r |
| Высота | H | h = kH | H − h |
| Образующая | l | l₁ = kl | l − l₁ |
| Коэффициент подобия | 1 | k = h⁄H = r⁄R | не применяется |
| Объём | V = πR²H⁄3 | V₁ = k³V | V − V₁ |
В таблице сначала находят коэффициент подобия, если известны две соответствующие линейные величины. Затем через него вычисляют остальные размеры малого конуса. Для усечённого конуса берут разность соответствующих величин исходного и малого конусов, а объёмы обязательно вычитают.
Высота конуса H = 12 см, радиус основания R = 9 см. Сечение проведено на расстоянии h = 4 см от вершины. Требуется найти радиус сечения.
Ответ: радиус сечения равен 3 см. Доля высоты малого конуса составляет одну треть от всей высоты, поэтому такой же долей должен быть и его радиус.
Дано H = 15 см, R = 10 см и r = 6 см. Нужно найти расстояние h от вершины до сечения и отношение площадей сечения и основания.
Ответ: h = 9 см, а отношение площадей сечения и основания равно 0,36, или 9⁄25. Радиус определяет линейный масштаб, поэтому для площади коэффициент нужно возвести в квадрат.
Высота конуса H = 24 см, радиус основания R = 10 см. Плоскость находится на расстоянии 9 см от вершины. Найдём радиус сечения, объём малого конуса и объём усечённого конуса.
Ответ: r = 3,75 см, V₁ = 225π⁄16 см³, Vусечённого = 12575π⁄16 см³. Вычитание объёмов соответствует разбиению исходного конуса на две непересекающиеся части.
Путают расстояние от вершины с расстоянием от основания. В формуле r = R·h⁄H величина h начинается у вершины, потому что она является высотой малого конуса. Проверьте себя: если сечение приближается к вершине, h и r должны уменьшаться.
Записывают r = R·x⁄H, когда x отсчитано от основания. Такая запись меняет смысл расстояния: при x = 0 сечение совпало бы с основанием, но формула дала бы нулевой радиус. Нужно использовать r = R·(H − x)⁄H.
Применяют коэффициент k к площади или объёму без степени. Причина ошибки — смешение линейных и пространственных величин. Запомните проверку: длины относятся как k, площади как k², объёмы как k³.
Называют усечённым конусом часть выше сечения. На самом деле у вершины находится малый конус, а усечённая часть лежит между основанием и сечением. Проверьте положение: у усечённого конуса должны быть два параллельных круга-основания.
Для этой темы нужны определения вершины, основания, высоты и образующей конуса, а также признаки подобия треугольников. При решении задач понадобятся формула объёма конуса и теорема Пифагора для осевого сечения. Полученные зависимости используются при изучении усечённого конуса, тел вращения и отношений площадей и объёмов подобных тел.
Почему сечение получается кругом, а не эллипсом?
Плоскость сечения параллельна плоскости основания, которое является кругом. При пересечении с образующими все соответствующие отрезки изменяются в одном и том же отношении, поэтому граница сечения имеет форму окружности.
От какой точки отсчитывать расстояние h в формуле r⁄R = h⁄H?
Расстояние h отсчитывают от вершины конуса до плоскости сечения. Если расстояние x дано от основания, то нужно взять высоту малого конуса h = H − x.
Как найти радиус сечения, если известна его высота над основанием?
Если высота над основанием равна x, сначала находят расстояние от вершины: h = H − x. Затем используют формулу r = R·(H − x)⁄H.
Почему объём малого конуса умножается на k³, а не на k?
Коэффициент k показывает изменение каждой линейной величины. Площадь изменяется как k², а объём содержит три измерения, поэтому изменяется как k³.
Как по сечению найти объём усечённого конуса?
Сначала находят объём исходного конуса V = πR²H⁄3 и объём малого конуса V₁ = πr²h⁄3. Затем из объёма исходного конуса вычитают объём малого: Vусечённого = V − V₁.
19.2. Сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости его основания
