19.1. Определение конуса. Конус вращения

Определения и обозначения

Конус — тело, состоящее из круга (основания), точки вне его плоскости (вершины) и всех отрезков, соединяющих вершину с точками круга. Иными словами, к основанию добавляют отрезки от одной общей точки, и вместе они заполняют объёмное тело. Такое определение помогает отличать конус от одной лишь его боковой поверхности.

Вершина конуса — точка вне плоскости основания, являющаяся общей точкой отрезков, образующих конус. От вершины расходятся отрезки к точкам основания, поэтому она задаёт верхнюю часть тела. При решении задач вершину удобно обозначать буквой, например S.

Основание конуса — круг, точки которого соединяются отрезками с вершиной. Круг лежит в плоскости и ограничивает конус снизу, а его граница называется окружностью. Центр круга нужен для определения высоты, а радиус круга — для описания размера основания.

Конус вращения — конус, полученный вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Катет, вокруг которого вращают треугольник, задаёт высоту, а второй катет — радиус основания. Такое построение позволяет связать элементы конуса со сторонами знакомой фигуры и применять теорему Пифагора.

Как это устроено

Начнём с круга, лежащего в одной плоскости, и выберем точку вне этой плоскости. Соединим её с каждой точкой круга: каждый такой отрезок входит в состав конуса, а не просто обозначает его контур. Совокупность отрезков заполняет пространство между вершиной и основанием, поэтому получается тело, а не плоская фигура.

Если соединить вершину только с точками границы круга, отрезки образуют внешнюю наклонную часть конуса — боковую поверхность. Внутри неё находятся отрезки, идущие к точкам круга, а сам круг замыкает тело снизу. Поэтому боковая поверхность и основание вместе ограничивают конус, но сам конус содержит также внутренние точки.

Теперь представим прямоугольный треугольник и закрепим один его катет как ось вращения. При полном обороте второй катет поворачивается вокруг оси, а его конец описывает окружность; эта окружность становится границей основания. Гипотенуза одновременно заметает наклонную боковую поверхность, а прямой угол обеспечивает перпендикулярность оси плоскости основания.

Элементы треугольника напрямую соответствуют элементам конуса. Неподвижный катет становится высотой: он направлен от вершины к основанию и перпендикулярен его плоскости. Второй катет задаёт радиус основания, поскольку его длина равна расстоянию от оси до окружности, а гипотенуза превращается в образующую.

Образующая — отрезок боковой поверхности от вершины до точки окружности основания. При вращении гипотенуза меняет направление, но не длину: вращение сохраняет расстояния. Каждое её положение поэтому даёт образующую той же длины, и все образующие конуса вращения равны.

Элементы конуса и конуса вращения

Сначала определите, какой элемент конуса требуется найти, а затем найдите соответствующую ему сторону треугольника. Для конуса вращения связь высоты, радиуса и образующей позволяет использовать теорему Пифагора: h² + r² = l². В этой записи h — высота, r — радиус основания, l — образующая.

Разбор задач

Задача 1. Дана точка вне плоскости круга. Опишите тело, которое получается, если соединить эту точку отрезками со всеми точками круга. Нужно узнать, соответствует ли построение определению конуса, и назвать его части.

1. Круг служит основанием, а точка вне его плоскости — вершиной.
2. Отрезки от вершины ко всем точкам круга составляют тело конуса, включая его внутренние точки.
3. Отрезки, проведённые к точкам окружности, образуют боковую поверхность; сам круг остаётся основанием.

Ответ: получается конус с данным кругом в качестве основания и данной точкой в качестве вершины. Боковая поверхность не является всем телом: в состав конуса входит также основание и внутренняя область.

Задача 2. Прямоугольный треугольник вращают вокруг катета длиной 6 см; второй катет равен 8 см. Назовите высоту и радиус основания полученного тела и найдите длину образующей. Важно сначала определить, какая сторона остаётся осью вращения, а какая становится наклонной стороной конуса.

1. Катет, вокруг которого вращают треугольник, становится высотой: h = 6 см.
2. Второй катет задаёт радиус основания: r = 8 см.
3. Гипотенуза становится образующей. По теореме Пифагора l² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, значит, l = 10 см.

Ответ: высота равна 6 см, радиус основания — 8 см, образующая — 10 см. Проверка показывает, что гипотенуза длиннее каждого катета, как и должно быть в прямоугольном треугольнике.

Задача 3. Конус вращения получен вращением прямоугольного треугольника вокруг катета длиной 9 см. Гипотенуза равна 15 см. Найдите радиус основания и объясните равенство образующих. Из условия сразу видно, что высота равна 9 см, а образующая — 15 см, поэтому неизвестным радиусом будет второй катет.

1. Обозначим радиус основания через r. По теореме Пифагора 9² + r² = 15².
2. Тогда r² = 225 − 81 = 144, откуда r = 12 см; берём положительное значение длины.
3. Все образующие получаются при вращении гипотенузы. Поскольку вращение не меняет её длину 15 см, каждая образующая имеет такую же длину.

Ответ: радиус основания равен 12 см, все образующие равны 15 см. Здесь важно не перепутать радиус с гипотенузой: радиус соответствует второму катету, а гипотенуза задаёт образующую.

Типичные ошибки

Ошибка: называть конусом только боковую поверхность. Так происходит, если воспринимать конус как видимую наклонную оболочку, не учитывая само тело. Проверьте себя: круг-основание и внутренние точки тоже входят в конус, а боковая поверхность — лишь его часть.

Ошибка: путать высоту и образующую. Обе линии начинаются в вершине, поэтому их легко смешать, но высота перпендикулярна плоскости основания, а образующая идёт к точке окружности. Чтобы проверить ответ, проследите, где заканчивается отрезок и образует ли он прямой угол с плоскостью основания.

Ошибка: считать радиусом основания отрезок от вершины до окружности. Его принимают за радиус из-за того, что он тоже доходит до границы, однако радиус лежит в плоскости основания и начинается в центре круга. Проверьте оба условия: отрезок должен соединять центр с окружностью и находиться в плоскости основания.

Ошибка: считать, что треугольник вращают вокруг гипотенузы. Путают её с осью, потому что гипотенуза превращается в заметную боковую поверхность. Но по определению рассматриваемого построения вращение происходит вокруг катета; именно он остаётся на месте и задаёт высоту конуса.

Связь с другими темами

Для определения конуса нужны понятия круга и окружности, радиуса, плоскости и перпендикуляра к плоскости. При изучении конуса вращения используются прямоугольный треугольник и теорема Пифагора: они связывают высоту, радиус основания и образующую. Те же элементы понадобятся дальше, когда будут изучаться сечения конуса, площадь его поверхности и объём.

Что запомнить

• Конус включает основание, вершину и все отрезки, соединяющие вершину с точками основания.
• Основание конуса — круг.
• Высота конуса перпендикулярна плоскости основания.
• Конус вращения получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета.
• Катет, вокруг которого вращают треугольник, задаёт высоту конуса.
• Другой катет задаёт радиус основания, а гипотенуза — образующую.
• Все образующие конуса вращения равны.