"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Конус — тело с круглым основанием и боковой поверхностью, которая сужается к вершине; усечённый конус получают, если срезать верхнюю часть конуса плоскостью, параллельной основанию. Эти тела встречаются в геометрии, архитектуре и технике. Чтобы находить их площади и объёмы, нужно различать высоту и образующую, понимать устройство осевого сечения и применять подобие треугольников. Главные формулы связывают радиусы оснований, высоту и образующую.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Конус — тело, ограниченное кругом-основанием и боковой поверхностью, образованной отрезками от вершины к точкам окружности основания. Представь круг, над которым находится вершина: все отрезки от неё до окружности вместе закрывают тело. Это определение помогает отличать конус от одной лишь его поверхности.
Коническая поверхность состоит из всех образующих, соединяющих вершину конуса с точками окружности основания. Иначе говоря, она охватывает конус сбоку, но не включает основание. Такое представление удобно, когда нужно изучать боковую поверхность или её развёртку.
Образующая конуса — отрезок от вершины до точки окружности основания; в прямом конусе его длину обозначают l. У прямого конуса все образующие равны, поэтому достаточно одной буквы для их общей длины. Образующую важно не путать с высотой: высота перпендикулярна основанию, а образующая наклонена к нему.
Усечённый конус — часть конуса между основанием и плоскостью, параллельной основанию. У него два круговых основания разных радиусов, которые обычно обозначают R и r, где R больше r. Эти обозначения нужны, чтобы записывать формулы и не путать размеры нижнего и верхнего кругов.
Если вращать прямоугольный треугольник вокруг одного из его катетов, получится прямой круговой конус. Вращающийся катет остаётся на месте и становится высотой, а второй катет описывает круг и задаёт радиус основания. Гипотенуза при вращении заметает боковую поверхность, поэтому её длина становится длиной образующей. Так связь элементов конуса возникает непосредственно из его построения.
Осевое сечение — сечение плоскостью, проходящей через ось тела. У прямого конуса эта плоскость содержит высоту и пересекает основание по диаметру, поэтому основание треугольника равно 2R, а не R. Его боковые стороны — образующие, равные между собой, так как вершина расположена над центром основания. Поэтому сечение является равнобедренным треугольником, а его высота совпадает с высотой конуса.
Плоскость, параллельная основанию, вырезает из конуса круг, подобный основанию. Над этой плоскостью остаётся меньший конус, а часть между двумя кругами образует усечённый конус. Если провести осевое сечение, оно пересечёт оба круга по диаметрам, а боковую поверхность — по двум равным образующим. Получается равнобедренная трапеция с основаниями 2R и 2r.
Малый конус, отсечённый параллельной плоскостью, подобен исходному: их сечения через ось — подобные треугольники. Поэтому отношение малого радиуса к большому равно отношению высоты малого конуса к высоте исходного, а также отношению их образующих. Например, если высоты исходного и малого конусов равны H и x, то r/R = x/H. Высота усечённой части равна H − x, а её образующая — разности образующих этих конусов.
Площадь боковой поверхности конуса получают из развёртки: она является сектором круга радиуса l, длина дуги которого равна длине окружности основания 2πR. Из этого следует Sбок = πRl; добавив площадь основания πR², получаем полную площадь. Объём усечённого конуса можно найти как разность объёмов исходного и отсечённого подобных конусов, что даёт V = ⅓πh(R² + Rr + r²). Формула боковой площади усечённого конуса Sбок = π(R + r)l получается из развёртки его боковой поверхности.
| Характеристика | Конус | Усечённый конус |
|---|---|---|
| Количество и радиусы оснований | Одно основание радиуса R | Два основания радиусов R и r |
| Осевое сечение | Равнобедренный треугольник с высотой h и основанием 2R | Равнобедренная трапеция с основаниями 2R и 2r |
| Связь высоты, радиусов и образующей | l² = h² + R² | l² = h² + (R − r)² |
| Площадь боковой поверхности | Sбок = πRl | Sбок = π(R + r)l |
| Площадь полной поверхности | Sполн = πR(l + R) | Sполн = π(R + r)l + πR² + πr² |
| Объём | V = ⅓πR²h | V = ⅓πh(R² + Rr + r²) |
Сначала определи, рассматриваешь ли ты конус или усечённый конус, и выпиши известные величины. Для площади полной поверхности учти площадь каждого основания, а для объёма используй высоту, а не образующую. Все длины должны быть выражены в одинаковых единицах.
Задача 1. Дан прямой конус с радиусом основания 6 см и высотой 8 см. Найдём образующую и площадь осевого сечения. Поскольку осевое сечение содержит высоту и радиус, сначала применим теорему Пифагора, а затем формулу площади треугольника.
Ответ: образующая равна 10 см, площадь осевого сечения — 48 см².
Задача 2. У прямого конуса радиус основания равен 5 см, а образующая — 13 см. Требуется найти высоту, боковую площадь и объём. Начнём с прямоугольного треугольника в осевом сечении: так найдём недостающую высоту, нужную для объёма.
Ответ: высота — 12 см, площадь боковой поверхности — 65π см², объём — 100π см³.
Задача 3. Усечённый конус имеет радиусы оснований 7 см и 3 см и высоту 4 см. Найдём образующую, боковую площадь и объём. Разность радиусов задаёт горизонтальную сторону прямоугольного треугольника в осевом сечении, поэтому для образующей подходит формула усечённого конуса.
Ответ: образующая — 4√2 см, боковая площадь — 40√2π см², объём — 316π/3 см³.
Ошибка: считать радиус основания диаметром в осевом сечении. Это происходит потому, что на сечении виден отрезок через весь круг; его длина равна 2R, а не R. Проверь себя: если радиус равен 6 см, основание треугольника должно быть 12 см.
Ошибка: применять к усечённому конусу равенство l² = h² + R². Эта формула относится к прямому конусу, где катетом служит радиус от центра до края основания. В усечённом конусе горизонтальный катет сечения равен разности радиусов, поэтому нужно использовать l² = h² + (R − r)².
Ошибка: находить объём усечённого конуса как у цилиндра или вычитать объёмы, не установив связь между конусами. Так легко потерять вклад меньшего радиуса. Проверь результат по формуле V = ⅓πh(R² + Rr + r²): при R = r она должна давать объём цилиндра, а при r = 0 — объём конуса.
Ошибка: подставлять формулы прямого кругового конуса для наклонного конуса без проверки. У наклонного конуса вершина не находится над центром основания, поэтому образующие могут иметь разную длину и простое соотношение l² = h² + R² не подходит. Перед вычислениями проверь, что конус прямой и его высота проходит через центр основания.
Для работы с конусами понадобятся свойства окружности и круга, теорема Пифагора, подобие треугольников и формула площади круга. Пифагор связывает высоту, радиус и образующую, а подобие объясняет соотношения между исходным и отсечённым конусами. Без различения радиуса и диаметра легко ошибиться в осевом сечении.
Осевые сечения и развёртки поверхностей уже встречались при изучении цилиндра и многогранников. Здесь эти приёмы помогают увидеть форму сечения и вывести формулу боковой площади. В дальнейшем формулы конуса и усечённого конуса пригодятся при изучении шара, тел вращения и сложных тел, составленных из нескольких частей.
Чем конус отличается от цилиндра?
У цилиндра два равных параллельных основания, а боковая поверхность соединяет их. У конуса одно основание, а боковая поверхность сходится к вершине.
Почему образующая конуса не равна его высоте?
В прямом конусе высота идёт от вершины перпендикулярно к плоскости основания, а образующая наклонена к ней и соединяет вершину с точкой окружности. Вместе с радиусом основания они образуют прямоугольный треугольник, поэтому обычно l больше h.
Как выглядит осевое сечение усечённого конуса?
Это равнобедренная трапеция: её основания равны диаметрам кругов, то есть 2R и 2r. Боковые стороны трапеции — образующие усечённого конуса.
Как найти высоту усечённого конуса, если известны его образующая и радиусы оснований?
Используй равенство l² = h² + (R − r)². Тогда h = √(l² − (R − r)²), где R — больший радиус, а r — меньший.
Почему в формуле объёма усечённого конуса появляется произведение Rr?
Усечённый конус можно представить как разность двух подобных конусов. При вычитании их объёмов после преобразования получается выражение R² + Rr + r²; средний член Rr учитывает связь между двумя радиусами.
§ 19. Конусы. Усеченные конусы
