"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Конус ограничен круглым основанием и боковой поверхностью, которая сужается к вершине. Площадь поверхности помогает определить, сколько материала потребуется, например, чтобы изготовить или покрыть конический предмет. Боковую площадь находят по радиусу основания и образующей: Sбок = πrl. Если нужно учесть ещё и основание, используют формулу Sполн = πr(l + r). Для прямого конуса недостающий размер можно найти по теореме Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Конус — тело, ограниченное кругом-основанием и конической поверхностью, сходящейся в вершине. Представьте мороженое в вафельном рожке: круглая часть служит основанием, а поверхность рожка сужается к одной точке. Это определение помогает отделить конус как объёмное тело от его плоского изображения. При вычислении площади нужно понять, какие именно части его поверхности учитываются.
Образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой окружности основания; его длину обозначают l. Каждая такая линия лежит на боковой поверхности и показывает, насколько далеко вершина отстоит от края основания по поверхности. Для прямого кругового конуса длины всех образующих одинаковы. Обозначение l понадобится в формуле боковой площади.
Площадь боковой поверхности конуса — площадь конической поверхности без основания; её обозначают Sбок. По смыслу это площадь материала, который покрывает конус сбоку, но не закрывает его круглую нижнюю часть. Такое различие важно в задачах о покрытии или изготовлении предмета. Если основание не требуется, его площадь к результату не прибавляют.
Площадь полной поверхности конуса — сумма площадей боковой поверхности и основания; её обозначают Sполн. Значит, в расчёт входят и коническая часть, и круг внизу. Это определение подсказывает, что одной формулы для боковой площади недостаточно: нужно отдельно учесть основание. Полную площадь можно найти, только зная радиус и образующую либо умея вычислить недостающую величину.
Чтобы понять формулу боковой площади, мысленно разрежьте коническую поверхность по одной образующей и расправьте её. Поверхность не растягивается, поэтому полученная развёртка сохраняет площадь исходной боковой части. Её границы образуют круговой сектор, а расстояние от центра сектора до дуги равно длине образующей l. Значит, именно l становится радиусом сектора, а не радиусом основания конуса.
При развёртке край боковой поверхности совпадает с окружностью основания. Поэтому длина дуги получившегося сектора должна быть такой же, как длина окружности: 2πr. Это объясняет, почему дуга не обязана составлять полную окружность с радиусом l: сектор может занимать лишь её часть. При расчёте площади нам нужны радиус сектора и длина его дуги, а не угол сектора.
Площадь сектора равна половине произведения его радиуса на длину дуги. Такое соотношение получается из формулы площади круга: сектор составляет ту же часть круга, какую его дуга составляет от всей окружности. Подставляя радиус l и длину дуги 2πr, получаем Sбок = ½ · l · 2πr = πrl. Так формула связывает размеры развёртки с размерами исходного конуса.
Основание конуса — круг радиуса r, а площадь такого круга равна πr². Для полной площади к боковой поверхности нужно прибавить площадь круга, поскольку это отдельная часть границы тела. Поэтому Sполн = πrl + πr². Вынеся общий множитель πr, получаем равносильную запись Sполн = πr(l + r), удобную для вычислений.
У прямого кругового конуса высота опускается из вершины к центру основания и перпендикулярна плоскости основания. Вместе с радиусом основания и образующей она образует прямоугольный треугольник: образующая является гипотенузой, а высота и радиус — катетами. По теореме Пифагора l² = h² + r², откуда l = √(h² + r²). Эта связь позволяет сначала восстановить образующую, если в условии даны высота и радиус.
| Что находят | Формула | Какие величины нужны |
|---|---|---|
| Площадь боковой поверхности | Sбок = πrl | Радиус основания r и образующая l |
| Площадь основания | Sосн = πr² | Радиус основания r |
| Площадь полной поверхности | Sполн = πrl + πr² = πr(l + r) | Радиус основания r и образующая l |
| Связь образующей, высоты и радиуса | l² = h² + r² | Две величины из l, h и r |
Сначала определите, какая площадь нужна: боковая или полная, — затем выберите соответствующую строку. Если образующая не дана, но известны высота и радиус прямого конуса, найдите её по последней формуле. Перед подстановкой проверьте, что все длины выражены в одинаковых единицах.
Задача 1. Радиус основания конуса равен 3 см, образующая — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности. Требуется только боковая часть, поэтому площадь круга-основания прибавлять не нужно. Обе величины уже известны, значит, можно сразу применить формулу Sбок = πrl.
Ответ: 15π см².
Задача 2. Радиус основания равен 4 см, высота — 3 см. Найдите полную площадь поверхности прямого кругового конуса. В формуле полной площади есть образующая, а в условии дана высота, поэтому сначала понадобится прямоугольный треугольник. После этого посчитаем боковую площадь и площадь основания отдельно, чтобы ничего не пропустить.
Ответ: 36π см².
Задача 3. Площадь боковой поверхности конуса равна 30π см², а радиус основания — 5 см. Найдите образующую и полную площадь поверхности. Здесь неизвестна образующая, но известна боковая площадь, поэтому преобразуем формулу Sбок = πrl. Затем используем найденное значение для вычисления полной площади.
Ответ: образующая равна 6 см, полная площадь поверхности — 55π см².
Путают радиус основания и образующую. В формуле Sбок = πrl нужны две разные длины: радиус r и образующая l. Ошибка возникает, когда обе величины называют «радиусом» или подставляют один и тот же размер дважды. Проверьте обозначения по условию: радиус идёт от центра основания к окружности, а образующая — от вершины к этой окружности.
Забывают площадь основания. Если нужно найти полную площадь, одного значения Sбок недостаточно: круг основания тоже является частью поверхности тела. Часто так происходит потому, что формулу боковой площади запоминают лучше, чем определение полной. Сверьте результат с записью Sполн = Sбок + πr²: в ней должны присутствовать оба слагаемых.
Считают образующую равной высоте. Высота перпендикулярна плоскости основания, а образующая наклонена к ней и идёт к окружности. Эти отрезки могут казаться похожими на рисунке, но в прямом конусе их связывает теорема Пифагора, а не равенство. Проверьте, что l² = h² + r²; при положительном радиусе образующая больше высоты.
Используют площадь круга для боковой поверхности. Формула πl² описывает круг радиуса l, но развёртка боковой части — не круг, а сектор. Путаница возникает из-за того, что образующая действительно становится радиусом развёртки. Чтобы проверить выбор, вспомните длину дуги сектора: она равна 2πr, поэтому площадь боковой части равна πrl.
Для вычислений нужны знакомые формулы длины окружности 2πr и площади круга πr², а также понимание, что обозначают радиус, высота и образующая. Если даны высота и радиус прямого конуса, образующую находят по теореме Пифагора. Формулы площади поверхности применяют, когда рассчитывают материал для изготовления или покрытия конических предметов. Они также используются при изучении объёмов тел вращения, хотя площадь и объём описывают разные характеристики тела.
Почему площадь боковой поверхности конуса равна πrl?
Если разрезать боковую поверхность по образующей и развернуть её, получится сектор радиуса l. Длина дуги сектора равна длине окружности основания, 2πr, а площадь сектора составляет половину произведения радиуса на длину дуги. Поэтому Sбок = ½ · l · 2πr = πrl.
Чем образующая отличается от высоты конуса?
Высота — перпендикулярный отрезок от вершины к плоскости основания, а образующая соединяет вершину с точкой окружности основания. У прямого кругового конуса они вместе с радиусом основания образуют прямоугольный треугольник: l² = h² + r². Поэтому образующая обычно длиннее высоты.
Как найти полную площадь поверхности конуса?
Сложите площадь боковой поверхности πrl и площадь основания πr². Получится Sполн = πrl + πr² = πr(l + r). Если известны не все величины, сначала найдите недостающую, например образующую по теореме Пифагора.
Можно ли найти площадь поверхности, если известны только радиус и высота?
Для прямого кругового конуса можно: сначала найдите образующую l = √(h² + r²), затем подставьте её в формулу площади. Для конуса, который не является прямым, одной высоты и радиуса может быть недостаточно, чтобы определить образующие и площадь боковой поверхности.
Нужно ли включать основание, когда спрашивают площадь поверхности конуса?
Если требуется площадь полной поверхности, основание обязательно учитывают и прибавляют πr² к боковой площади. Если в задаче спрашивают именно площадь боковой поверхности, основание не включают. Сверяйтесь с тем, какую именно поверхность нужно найти.
62. Площадь поверхности конуса
