64. Сфера и шар

Определения и обозначения

Сфера — множество точек пространства, равноудалённых от одной точки. Эту точку называют центром сферы O, а общее расстояние до неё — радиусом R. Определение позволяет описывать поверхность условием OT = R для любой точки T сферы.

Шар — часть пространства, состоящая из точек, расстояние от которых до центра не больше радиуса: OT ≤ R. Его граница — сфера, а внутренние точки находятся на расстоянии, меньшем R. Это различие нужно, чтобы правильно называть результат сечения тела.

Большой круг — сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр. Радиус такого сечения равен радиусу сферы, потому что расстояние от центра до плоскости равно нулю. Большой круг имеет наибольший радиус среди всех кругов, получаемых сечениями.

Касательная плоскость к сфере — плоскость, имеющая со сферой одну общую точку, называемую точкой касания. Радиус, проведённый в эту точку, перпендикулярен плоскости. Это свойство помогает распознавать касательную плоскость и находить расстояния в прямоугольных треугольниках.

Как это устроено

Сфера в пространстве устроена так же, как окружность на плоскости: у окружности все точки находятся на одном расстоянии от центра, и у сферы выполняется то же условие в трёхмерном пространстве. Разница связана не с определением расстояния, а с количеством направлений, в которых можно удаляться от центра. Поэтому окружность является линией, а сфера — поверхностью.

Рассмотрим плоскость, пересекающую сферу, и опустим из центра O перпендикуляр на эту плоскость. Его основание обозначим H, а любую точку T окружности сечения соединим с O. Треугольник OHT прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора r² + d² = R², где OH = d, HT = r и OT = R.

Из формулы видно, почему положение плоскости влияет на размер сечения. При приближении плоскости к центру d уменьшается, значит, радиус r увеличивается; при d = 0 получается большой круг. Если d = R, то r = 0: плоскость касается сферы в одной точке, а при d > R общих точек нет.

Шар включает все внутренние точки, ограниченные сферой, тогда как сфера состоит только из точек границы. Поэтому плоскость вырезает из шара область, то есть круг, а из его границы — только окружность. Например, разрез наполненного мяча даёт круг, но линия пересечения поверхности мяча с плоскостью будет окружностью.

Касательная плоскость перпендикулярна радиусу в точке касания, потому что этот радиус является кратчайшим расстоянием от центра до плоскости. Если бы перпендикулярности не было, в плоскости нашлись бы точки, расположенные от центра так же, как точка касания. Тогда они тоже лежали бы на сфере, и общих точек стало бы больше одной.

Сфера, шар и их сечения

В таблице сначала определите, с чем работаете: с поверхностью, объёмным телом или особым положением плоскости. Затем выберите условие для вычислений и вид сечения. Если расстояние от центра до плоскости неизвестно, удобно применять формулу r² + d² = R².

Разбор задач

Задача 1

Радиус сферы равен 5 см, радиус окружности сечения — 3 см. Требуется найти расстояние d от центра до секущей плоскости. В сечении возникает прямоугольный треугольник, поэтому данные можно связать теоремой Пифагора.

1. Запишем формулу: r² + d² = R².
2. Подставим значения: 3² + d² = 5², значит d² = 25 − 9 = 16.
3. Так как расстояние не бывает отрицательным, d = √16 = 4 см.

Ответ: 4 см. Отрицательный корень здесь не выбирают, поскольку речь идёт о длине расстояния.

Задача 2

Радиус сферы равен 13 см, расстояние от центра до секущей плоскости — 5 см. Сначала найдём радиус окружности сечения, а затем её длину. Для длины окружности используем формулу L = 2πr.

1. Из равенства r² + d² = R² получаем r² = R² − d².
2. Подставим числа: r² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, поэтому r = 12 см.
3. Вычислим длину: L = 2π · 12 = 24π см.

Ответ: 24π см, или примерно 75,4 см. Радиус 12 см меньше радиуса сферы 13 см, что подтверждает правдоподобность результата.

Задача 3

Из точки A вне сферы с центром O проведена касательная плоскость, касающаяся сферы в T. Дано OA = 13 см и OT = 5 см, требуется найти AT. Радиус OT перпендикулярен касательной плоскости, поэтому треугольник OTA прямоугольный.

1. Запишем теорему Пифагора: OA² = OT² + AT².
2. Выразим искомый отрезок: AT² = OA² − OT² = 13² − 5² = 144.
3. Извлечём корень: AT = √144 = 12 см.

Ответ: 12 см. Отрезок AT лежит в касательной плоскости и соединяет внешнюю точку с точкой касания.

Типичные ошибки

Сферу и шар считают одним и тем же. Ошибка появляется из-за сходства слов и формы объектов. Проверьте себя вопросом: рассматривается только граница или всё пространство внутри неё; равенство OT = R относится к сфере, а неравенство OT ≤ R — к шару.

Сечение сферы называют кругом. Часто путают плоскую область с её границей. Если пересекается поверхность, ответом будет окружность; круг получается при сечении шара. Полезно мысленно спросить, входят ли в сечение внутренние точки.

В формуле принимают d за другое расстояние. d — это расстояние от центра сферы до секущей плоскости, а не расстояние до отдельной точки окружности. Проверьте схему: отрезок d должен быть перпендикуляром из центра к плоскости.

Считают, что радиус к точке касания лежит в плоскости. Такое представление противоречит главному свойству касательной плоскости. Радиус OT перпендикулярен ей, поэтому угол между OT и любым направлением плоскости равен 90°.

Связь с другими темами

Для изучения сферы и шара нужны понятия окружности, круга, центра и радиуса, а также теорема Пифагора и расстояние от точки до плоскости. Сечения помогают решать задачи о многогранниках, вписанных и описанных телах. Позже те же радиус и геометрическая модель используются в формулах площади поверхности сферы и объёма шара.

Что запомнить

• Все точки сферы находятся от её центра на расстоянии R.
• Точки шара находятся от центра на расстоянии не больше R.
• Сечение сферы плоскостью — окружность, сечение шара — круг.
• Для радиуса сечения r и расстояния d от центра до секущей плоскости верно r² + d² = R².
• Сечение через центр сферы называется большим кругом.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.