65. Уравнение сферы

Определения и обозначения

Сфера — множество точек пространства, равноудалённых от одной точки. Иными словами, это оболочка круглого тела, а не всё тело целиком. Такое определение позволяет описывать сферу с помощью центра и одного числа — радиуса.

Центр сферы — точка, от которой до каждой точки сферы одинаковое расстояние. Обычно центр обозначают буквой O или C, а его координаты записывают как O(a, b, c). Зная центр, можно определить положение сферы в пространстве.

Радиус сферы — расстояние от центра до любой точки сферы; обычно его обозначают буквой R. Все такие расстояния равны, поэтому для нахождения радиуса достаточно выбрать одну известную точку поверхности. Радиус задаёт размер сферы и всегда положителен.

Уравнение сферы — равенство, которому удовлетворяют координаты всех точек сферы и только они. Оно переводит геометрическое условие «расстояние до центра равно R» на язык алгебры. По уравнению можно исследовать положение точек и параметры самой сферы.

Как это устроено

Пусть центр сферы имеет координаты O(a, b, c), а произвольная точка сферы — M(x, y, z). Расстояние между ними равно √((x − a)² + (y − b)² + (z − c)²). По определению сферы это расстояние должно быть равно R, поэтому после возведения обеих частей в квадрат получаем (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².

Если центр находится в начале координат, то a = 0, b = 0, c = 0. Подстановка этих значений превращает разности в x, y и z, поэтому уравнение принимает вид x² + y² + z² = R². Такое уравнение удобно использовать, когда сфера симметрична относительно начала координат.

Чтобы проверить принадлежность точки M(x₀, y₀, z₀) сфере, подставляют x₀, y₀ и z₀ в левую часть уравнения. Если результат равен R², точка лежит на поверхности. Значение меньше R² означает, что точка расположена внутри шара, а значение больше R² — вне сферы и шара.

В общем виде x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0 группируют слагаемые и выделяют полные квадраты: x² + Ax = (x + A/2)² − A²/4 и аналогично для y и z. После переноса постоянных получают стандартный вид. Поэтому центр равен (−A/2, −B/2, −C/2), а радиус находят как квадратный корень из правой части.

Уравнения сферы и их параметры

Сначала определите, какая форма уравнения дана, а затем сопоставьте коэффициенты с таблицей. В общем виде сначала нужно выполнить преобразования, потому что координаты центра не видны непосредственно. Для проверки точки используйте последнюю строку и сравнивайте результат именно с R².

Разбор задач

Задача 1

Условие: записать уравнение сферы радиуса 5 с центром в начале координат. Центр имеет координаты (0, 0, 0), поэтому используется упрощённая формула. Число 5 является радиусом, а в уравнение входит его квадрат.

1. Записываем формулу для центра в начале координат: x² + y² + z² = R².
2. Подставляем R = 5 и вычисляем R² = 25.
3. Получаем уравнение x² + y² + z² = 25.

Ответ: x² + y² + z² = 25.

Задача 2

Условие: составить уравнение сферы с центром C(2, −1, 3), проходящей через точку A(2, 3, 3). Радиус заранее не дан, поэтому его нужно найти по расстоянию между центром и точкой поверхности. После этого параметры подставляются в стандартное уравнение.

1. Находим квадрат радиуса: R² = (2 − 2)² + (3 − (−1))² + (3 − 3)².
2. Вычисляем: R² = 0² + 4² + 0² = 16, значит R = 4.
3. Подставляем центр и радиус: (x − 2)² + (y + 1)² + (z − 3)² = 16.

Ответ: (x − 2)² + (y + 1)² + (z − 3)² = 16.

Задача 3

Условие: определить центр и радиус сферы x² + y² + z² − 4x + 6y − 2z − 2 = 0. Линейные слагаемые мешают сразу увидеть центр, поэтому выделим полный квадрат для каждой координаты. Такой приём превращает общий вид в стандартный.

1. Группируем: (x² − 4x) + (y² + 6y) + (z² − 2z) = 2.
2. Дополняем до квадратов: (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 + (z − 1)² − 1 = 2.
3. Переносим постоянные: (x − 2)² + (y + 3)² + (z − 1)² = 16.
4. Сравниваем со стандартной формой и получаем центр (2, −3, 1), R² = 16, R = 4.

Ответ: центр O(2, −3, 1), радиус R = 4.

Типичные ошибки

Путать сферу и шар. Уравнение с равенством задаёт только поверхность, а не внутренние точки. Ошибка появляется из-за привычного представления о круглом теле. Проверьте знак: для сферы стоит «=», для внутренних точек используют «≤».

Неверно менять знаки в скобках. Для центра (a, b, c) нужны разности x − a, y − b, z − c. Знак внутри скобки противоположен знаку координаты центра, поэтому при b = −1 появляется y + 1. Проверить себя можно, подставив координаты центра: все три скобки должны обратиться в ноль.

Принимать R² за радиус. В уравнении находится квадрат радиуса, а не сам радиус. Такая ошибка возникает после выделения квадратов, когда последний шаг пропускают. Если получили R² = 16, запишите радиус R = √16 = 4.

Неверно переносить свободные слагаемые. При дополнении до полного квадрата добавленные числа сначала появляются с минусом и влияют на правую часть. Ошибку часто обнаруживают по отрицательному R². Перепроверьте преобразование раскрытием скобок и убедитесь, что правая часть положительна.

Связь с другими темами

Для вывода уравнения сферы нужны координаты точки в прямоугольной системе и формула расстояния между двумя точками пространства. Без них невозможно перейти от геометрического условия равенства расстояний к квадратам координатных разностей. Поэтому эти формулы стоит повторить перед решением задач.

Уравнение сферы используется при изучении взаимного расположения сферы и плоскости. С его помощью также исследуют другие поверхности в пространстве и решают задачи по координатному методу. Алгебраические преобразования позволяют находить их основные геометрические параметры.

Что запомнить

• Сфера состоит из точек, находящихся на расстоянии R от её центра.
• Уравнение сферы с центром (a, b, c): (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².
• У сферы с центром в начале координат: x² + y² + z² = R².
• Координаты точки сферы удовлетворяют её уравнению.
• В общем уравнении сферы коэффициенты при x², y² и z² одинаковы, а смешанных произведений нет.
• Радиус сферы положителен.