§ 7. Уравнение сферы

Определения и обозначения

Сфера — множество всех точек пространства, находящихся на одном и том же расстоянии от заданной точки. Это определение описывает поверхность, а не всё пространство внутри неё: каждая её точка одинаково удалена от одной выбранной точки. Такое свойство позволяет задавать сферу с помощью координат и уравнения.

Центр сферы — фиксированная точка, от которой отсчитывается расстояние до любой точки сферы. Обычно центр обозначают O(a, b, c), где a, b и c — его координаты. Зная центр, можно вычислять расстояние от него до других точек и проверять, лежат ли они на сфере.

Радиус сферы — расстояние от центра сферы до любой её точки. Его обозначают буквой R; у сферы радиус положителен и один и тот же для всех точек поверхности. Именно радиус определяет размер сферы, а вместе с координатами центра полностью задаёт её положение и форму.

Уравнение сферы — равенство, которому удовлетворяют координаты всех точек сферы. В него можно подставить координаты конкретной точки и проверить равенство. Поэтому уравнение служит координатной записью геометрического условия: расстояние от точки до центра должно быть равно радиусу.

Как это устроено

Пусть центр сферы имеет координаты O(a, b, c), а произвольная точка сферы — M(x, y, z). Квадрат расстояния между ними равен (x − a)² + (y − b)² + (z − c)², потому что в пространстве учитываются разности по всем трём координатам. По определению сферы расстояние OM равно R, значит, его квадрат равен R². Приравнивая выражения, получаем уравнение сферы.

Стандартная запись имеет вид (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². Каждое слагаемое слева — квадрат изменения одной координаты при переходе от центра к точке. Их сумма является квадратом расстояния, поэтому уравнение выражает условие «расстояние до центра равно радиусу». Квадраты также позволяют использовать формулу без извлечения корня.

По стандартному уравнению центр и радиус видны непосредственно: в скобках стоят разности координат точки и центра, а справа записан квадрат радиуса. Например, в выражении (x − 3)² координата центра по оси x равна 3, а не −3. Если правая часть равна 25, то R = √25 = 5, поскольку радиус — положительное расстояние.

Раскрывая скобки в стандартном уравнении, получаем общий вид x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0. Обратное преобразование выполняют выделением полных квадратов: например, x² + Ax = (x + A/2)² − A²/4. Так можно восстановить центр и радиус, но после преобразования нужно проверить правую часть: она должна быть положительной для сферы ненулевого радиуса.

Радиус действительной сферы должен быть больше нуля, поэтому в стандартной записи R² > 0. Чтобы проверить принадлежность точки, подставляют её координаты в уравнение: равенство означает, что квадрат расстояния до центра равен R². Если рассматривается пересечение с плоскостью, условие этой плоскости подставляют вместо соответствующей координаты или используют её уравнение. Так задача о пространственном пересечении сводится к уравнению в оставшихся координатах.

Основные формы и свойства уравнения сферы

Сначала определите, в какой форме дано уравнение: стандартная позволяет сразу прочитать параметры, а общий вид требует преобразования. При проверке точки удобнее подставить её координаты в исходное равенство, не вычисляя расстояние отдельно. После выделения квадратов обязательно проверьте знак полученного R².

Разбор задач

Задача 1. Записать уравнение сферы с центром O(2, −1, 3) и радиусом 4. Используем стандартную формулу: в скобках записываются координаты переменной точки минус соответствующие координаты центра. Справа ставим квадрат радиуса, потому что левая часть представляет собой квадрат расстояния до центра.

1. Запишем формулу сферы: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².
2. Подставим a = 2, b = −1, c = 3 и R = 4: (x − 2)² + (y − (−1))² + (z − 3)² = 4².
3. Упростим знаки и вычислим квадрат радиуса: (x − 2)² + (y + 1)² + (z − 3)² = 16.

Ответ: (x − 2)² + (y + 1)² + (z − 3)² = 16. Знак плюс при y появился потому, что координата центра по этой оси отрицательна. Проверка проста: если подставить координаты центра, левая часть станет нулём, а не 16; это ожидаемо, так как центр не лежит на поверхности сферы.

Задача 2. Для уравнения (x − 3)² + (y + 2)² + (z − 1)² = 25 определить центр и радиус, а также проверить, принадлежит ли сфере точка A(6, −2, 1). Сначала сопоставим запись с формулой сферы, затем проверим точку подстановкой. Такой порядок отделяет чтение параметров от проверки принадлежности.

1. Сравним скобки с формой (x − a)²: координаты центра равны 3, −2 и 1. Значит, O(3, −2, 1).
2. Правая часть равна R² = 25, поэтому положительный радиус R = 5.
3. Подставим A: (6 − 3)² + (−2 + 2)² + (1 − 1)² = 9 + 0 + 0 = 9.
4. Полученное число 9 не равно 25, следовательно, точка не принадлежит сфере.

Ответ: центр O(3, −2, 1), радиус 5; A сфере не принадлежит. Здесь точка отличается от центра только первой координатой, поэтому расстояние до центра равно 3. Оно меньше радиуса 5: точка находится внутри шара, но не на его поверхности.

Задача 3. Привести уравнение x² + y² + z² − 6x + 4y − 8z + 4 = 0 к стандартному виду, найти центр и радиус и определить сечение плоскостью z = 0. Сгруппируем слагаемые по переменным, а затем добавим и вычтем нужные числа, чтобы получить полные квадраты. После этого плоскость задаст значение координаты z.

1. Перенесём постоянное слагаемое: (x² − 6x) + (y² + 4y) + (z² − 8z) = −4.
2. Дополняем каждую группу до квадрата: (x − 3)² − 9, (y + 2)² − 4, (z − 4)² − 16. Тогда сумма квадратов равна −4 + 9 + 4 + 16 = 25.
3. Стандартный вид: (x − 3)² + (y + 2)² + (z − 4)² = 25. Значит, центр O(3, −2, 4), радиус R = 5.
4. Для плоскости z = 0 подставим ноль: (x − 3)² + (y + 2)² + 16 = 25. Следовательно, (x − 3)² + (y + 2)² = 9.

Ответ: центр O(3, −2, 4), радиус 5; сечение плоскостью z = 0 — окружность с центром (3, −2, 0) и радиусом 3. Радиус сечения меньше радиуса сферы, поскольку плоскость не проходит через её центр. Равенство для сечения задаёт окружность в плоскости z = 0.

Типичные ошибки

Ошибка: неверно определять знаки координат центра. Например, из (x + 3)² иногда получают координату 3, хотя выражение равно (x − (−3))². Путаница возникает из-за того, что знак внутри скобок воспринимают как саму координату, а не как часть разности. Для самопроверки представьте скобку в виде x − a: тогда a и есть координата центра.

Ошибка: указывать R² вместо радиуса R. Правая часть стандартного уравнения содержит квадрат радиуса, но спрашивают часто именно радиус, поэтому нужно извлечь квадратный корень. Эта путаница возникает из-за привычки читать параметры напрямую. Проверьте размер ответа: при правой части 25 радиус равен 5, а не 25.

Ошибка: применять формулу расстояния только по координатам x и y. Такая формула подходит для плоскости, но сфера находится в трёхмерном пространстве и требует учитывать ещё координату z. Пропуск третьего слагаемого может случайно не повлиять на ответ для отдельных точек, но в общем случае даст неверное расстояние. Сверяйте формулу с числом координат: в пространстве должно быть три квадрата разностей.

Ошибка: считать, что любое уравнение общего вида задаёт сферу. После выделения квадратов правая часть может оказаться отрицательной, и тогда действительных точек нет; при нуле получается лишь одна точка, а не сфера положительного радиуса. Это забывают, принимая внешнее сходство записи за достаточное условие. Завершив преобразование, вычислите R² и проверьте, что оно строго больше нуля.

Связь с другими темами

Для вывода уравнения нужны формула расстояния между точками в пространстве, координаты точки и умение преобразовывать квадратные выражения. Поэтому полезно уверенно раскрывать скобки и выделять полный квадрат. Уравнение сферы связано с уравнениями прямой и плоскости: подстановка координат или условий плоскости позволяет исследовать взаимное расположение объектов. Оно применяется в задачах на сечения, касательные плоскости, расстояния и пространственные построения.

Что запомнить

• Сфера состоит из точек, равноудалённых от центра.
• Уравнение сферы с центром O(a, b, c) и радиусом R имеет вид (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².
• Радиус сферы должен быть положительным.
• Центр сферы считывается из скобок с учётом знаков.
• Точка принадлежит сфере, если её координаты удовлетворяют уравнению.
• Общий вид уравнения сферы получают раскрытием скобок, а стандартный — выделением полных квадратов.