§ 1. Первообразная

Определения и обозначения

Первообразная функции f на промежутке — это функция F, производная которой на всём промежутке равна f: F′(x) = f(x). Иными словами, по известной скорости изменения нужно восстановить саму функцию. Это определение превращает поиск первообразной в задачу, обратную дифференцированию.

Семейство первообразных — все функции вида F(x) + C, где F — одна найденная первообразная, а C — любое постоянное число. Такое семейство нужно записывать, потому что разные значения C дают разные функции с одной и той же производной. Графики этих функций получаются вертикальными сдвигами друг друга.

Неопределённый интеграл — обозначение семейства первообразных: ∫ f(x) dx = F(x) + C. Знак ∫ показывает действие поиска первообразной, f(x) называется подынтегральной функцией, а dx указывает переменную интегрирования. Поэтому неопределённый интеграл является не одним числом, а набором функций.

Постоянная интегрирования C — произвольное слагаемое в общей записи первообразной. Оно учитывает тот факт, что производная любой постоянной равна нулю. Если задано дополнительное условие, например прохождение графика через точку, значение C можно определить.

Как это устроено

Первообразная связана с производной обратной задачей. При дифференцировании из функции получают её скорость изменения, а при поиске первообразной по результату изменения восстанавливают исходную функцию. Например, если дана f(x) = 2x, нужно найти функцию, производная которой равна 2x; такой функцией будет x².

У одной функции обычно не одна первообразная, потому что к любой найденной F(x) можно прибавить постоянное число. Производная суммы F(x) + C равна F′(x) + 0, то есть снова f(x). Поэтому один результат дифференцирования соответствует целому семейству первообразных.

Любые две первообразные одной функции на одном промежутке отличаются только на постоянную. Пусть F′(x) = f(x) и G′(x) = f(x), тогда (F − G)′(x) = F′(x) − G′(x) = 0. Функция, производная которой равна нулю на промежутке, постоянна, значит F − G = C.

Проверка найденной первообразной выполняется дифференцированием. Сначала находят производную от всей записи, включая слагаемое C, а затем сравнивают результат с исходной функцией f(x). Совпадение подтверждает решение, а лишний знак или коэффициент сразу обнаруживает ошибку.

Таблицу производных удобно использовать в обратном направлении. Нужно найти в ней функцию, производная которой совпадает с данным выражением, а затем учесть коэффициенты, суммы и постоянную интегрирования. Например, поскольку (sin x)′ = cos x, первообразной для cos x является sin x + C, а поскольку (−cos x)′ = sin x, для sin x — −cos x + C.

Простейшие первообразные и их проверка производной

Чтобы найти первообразную, сопоставьте исходное выражение со вторым столбцом, учитывая коэффициенты и суммы. После этого обязательно добавьте + C, а результат проверьте по третьему столбцу. Для 1/x отдельно следите за областью определения: ноль не должен входить в рассматриваемый промежуток.

Разбор задач

Задача 1. Найти все первообразные функции f(x) = 3x² на промежутке ℝ. Нужно подобрать функцию, производная которой даст 3x², а затем записать не одну функцию, а всё семейство.

1. Используем правило степени: производная x³ равна 3x², поэтому одной первообразной будет F(x) = x³.
2. Добавляем произвольную постоянную: F(x) = x³ + C.
3. Проверяем: (x³ + C)′ = 3x² + 0 = 3x².

Ответ: F(x) = x³ + C, C ∈ ℝ.

Задача 2. Найти первообразную функции f(x) = 2 cos x − 3eˣ. Линейность дифференцирования позволяет искать первообразную каждого слагаемого отдельно, сохраняя его коэффициент.

1. Так как (sin x)′ = cos x, первообразная для 2 cos x равна 2 sin x.
2. Так как (eˣ)′ = eˣ, первообразная для −3eˣ равна −3eˣ.
3. Объединяем результаты и добавляем C: F(x) = 2 sin x − 3eˣ + C.
4. Проверяем: F′(x) = 2 cos x − 3eˣ.

Ответ: F(x) = 2 sin x − 3eˣ + C.

Задача 3. Найти первообразную f(x) = 1/x² + 4 sin x, если её график проходит через точку (0; 2). Сначала ищем общее семейство, но затем проверяем, имеет ли смысл условие в указанной точке.

1. Перепишем 1/x² как x⁻². Его первообразная равна −1/x, поскольку (−1/x)′ = 1/x².
2. Первообразная для 4 sin x равна −4 cos x. Поэтому F(x) = −1/x − 4 cos x + C.
3. Эта формула определена только при x ≠ 0, и исходная функция тоже не определена в нуле.
4. Подставить координату x = 0 нельзя, поэтому выбрать C из условия F(0) = 2 невозможно.

Ответ: на промежутке, не содержащем 0, F(x) = −1/x − 4 cos x + C; первообразной с графиком, проходящим через точку (0; 2), не существует.

Типичные ошибки

Записывают только одну первообразную и забывают + C. Ошибка появляется, когда результат воспринимают как единственную функцию, хотя постоянное слагаемое не меняет производную. Проверьте себя вопросом: указано ли всё семейство, если дополнительного условия нет?

Путают первообразную с производной и дифференцируют не ту функцию. Нужно искать F, для которой F′ = f, а не вычислять производную уже заданного f. Самопроверка проста: продифференцируйте именно свой ответ и сравните его с условием.

Ошибаются со знаком, например называют cos x первообразной для sin x. Но (cos x)′ = −sin x, поэтому правильная первообразная для sin x — −cos x + C. Знак всегда можно проверить одним дифференцированием.

Применяют формулу для 1/x на промежутке, содержащем ноль. Функция 1/x в нуле не определена, поэтому ни она, ни её первообразная ln|x| не рассматриваются на едином промежутке через ноль. Сначала укажите область определения и только потом используйте формулу.

Связь с другими темами

Для поиска первообразных нужны определение производной, таблица производных элементарных функций и правила дифференцирования. Первообразная является основой неопределённого и определённого интегралов: с её помощью вычисляют интегралы и находят площади фигур. Поэтому уверенное владение обратными соответствиями производных пригодится в следующих темах.

Что запомнить

• F — первообразная f, если F′(x) = f(x) на всём рассматриваемом промежутке.
• Если F — первообразная f, то F + C также является первообразной f.
• Любые две первообразные одной функции на промежутке отличаются на постоянную.
• Запись неопределённого интеграла обозначает всё семейство первообразных.
• Найденную первообразную проверяют дифференцированием.
• При заданном дополнительном условии постоянную C можно определить.