"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Первообразная помогает восстановить функцию по её производной: если F′(x) = f(x), то F — первообразная f. Одну и ту же функцию можно получить как производную от множества функций, отличающихся постоянным слагаемым. Поэтому ответ обычно записывают с произвольной постоянной C. Для степенных и некоторых тригонометрических функций есть готовые формулы, а правильность найденной первообразной легко проверить дифференцированием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция F называется первообразной функции f на промежутке, если F дифференцируема на этом промежутке и F′(x) = f(x). Например, если производная F равна 2x, то F — первообразная функции 2x. Определение позволяет проверять ответ не по виду формулы, а по её производной.
Для степенной функции f(x) = xⁿ, где n ≠ −1, подходит первообразная F(x) = x⁽ⁿ⁺¹⁾/(n + 1). Действительно, при дифференцировании степень уменьшается на единицу, а множитель n + 1 сокращается со знаменателем. Эта формула помогает быстро находить первообразные степеней, кроме особого случая n = −1.
Если F — первообразная f на промежутке, то все первообразные этой функции имеют вид F(x) + C, где C — постоянная. Например, к одной формуле можно прибавить любое число: производная от этого слагаемого всё равно будет нулевой. Запись с C описывает не одну функцию, а целое семейство первообразных.
Дифференцирование показывает, как найти производную функции, а первообразная ставит обратную задачу: по заданной производной восстановить исходную функцию. Например, если известно, что скорость — производная координаты по времени, то по скорости можно искать изменение координаты. Но восстановить единственную функцию нельзя, пока не задано её значение хотя бы в одной точке. Это и объясняет появление произвольной постоянной.
Почему первообразных одной функции бесконечно много? Если F′(x) = f(x), то (F(x) + C)′ = F′(x) + 0 = f(x) при любом C. Более того, любые две первообразные на одном промежутке отличаются на постоянную: их разность имеет производную, равную нулю, а значит, остаётся постоянной. Условие «на одном промежутке» важно: оно задаёт область, где сравнивают функции.
Проверить предполагаемую первообразную можно напрямую: продифференцировать её и сравнить результат с f(x). Если производная совпала с исходной функцией, определение выполнено; если не совпала, в вычислении или выборе формулы есть ошибка. При проверке семейства F(x) + C слагаемое C исчезает, потому что его производная равна нулю. Такой способ полезен и после применения готовых формул.
Формулу для xⁿ можно получить из правила (xᵐ)′ = m·xᵐ⁻¹. Чтобы производная дала xⁿ, берут показатель m = n + 1 и делят x⁽ⁿ⁺¹⁾ на n + 1: множитель при дифференцировании тогда сократится. Поэтому при n ≠ −1 имеем (x⁽ⁿ⁺¹⁾/(n + 1))′ = xⁿ. Исключение необходимо оговорить, потому что при n = −1 делить пришлось бы на ноль.
Для x⁻¹ степенная формула не работает именно из-за нулевого знаменателя, а не из-за случайного неудобства записи. На промежутке x > 0 эту функцию можно получить дифференцированием ln x: (ln x)′ = 1/x. Поэтому первообразная 1/x здесь имеет вид ln x + C; на других промежутках нужно учитывать область определения логарифма и выбирать соответствующий вид функции.
| Функция f(x) | Условие | Общий вид первообразной F(x) |
|---|---|---|
| xⁿ | n ≠ −1 | x⁽ⁿ⁺¹⁾/(n + 1) + C |
| 1/x | x > 0 | ln x + C |
| cos x | любое x | sin x + C |
| sin x | любое x | −cos x + C |
Сначала проверьте, подходит ли условие в средней колонке, особенно для xⁿ и 1/x. Затем выберите формулу, учитывая, что для синуса перед cos стоит минус. В общем виде первообразной не забывайте записать C.
Ответ: F(x) = x³ + C.
Ответ: F(x) = x² − 4 sin x + C.
Ответ: F(x) = ln x + 2.
Записывают только одну первообразную и забывают C, хотя просят найти все первообразные. Так происходит, когда ответ воспринимают как единственную формулу, а не семейство функций. Проверка простая: прибавьте к найденной функции любое число — её производная не изменится. Поэтому в общем ответе должна присутствовать постоянная.
Подставляют n = −1 в степенную формулу и получают деление на ноль. Причина — применение правила без проверки его условия n ≠ −1. Для 1/x на промежутке x > 0 нужно использовать ln x + C. Проверка дифференцированием сразу показывает, что производная ln x равна 1/x.
Для sin x записывают cos x + C вместо −cos x + C. Ошибка возникает из-за забывчивости: производная cos x равна −sin x, поэтому знак надо изменить. Продifferенцируйте ответ: у cos x получится −sin x, а у −cos x — sin x. Сравнение с исходной функцией обнаружит неверный знак.
Считают, что ln x является первообразной 1/x на всей числовой прямой. При этом не учитывают, что ln x определён только при x > 0, и забывают оговорить промежуток. Сверяйте область определения функции с условием задачи. Для отрицательных x понадобится отдельно рассматривать подходящий промежуток и логарифм модуля.
Чтобы находить первообразные и проверять их, нужно знать определение производной и правила дифференцирования степенных, тригонометрических и логарифмических функций. Именно обратное применение этих правил помогает выбирать формулы и подтверждать результат. Поэтому ошибки в производных часто переходят в ошибки при поиске первообразной. Первообразные, в свою очередь, служат основой для изучения интеграла и вычисления площадей фигур.
Что значит, что F — первообразная функции f?
Это значит, что функция F дифференцируема на рассматриваемом промежутке и её производная равна f: F′(x) = f(x). Иначе говоря, при дифференцировании F получается исходная функция.
Почему к первообразной нужно прибавлять произвольную постоянную?
Производная любой постоянной равна нулю, поэтому добавление C не меняет производную функции. На одном промежутке любые две первообразные одной функции отличаются только постоянным слагаемым.
Как найти первообразную степенной функции?
Для f(x) = xⁿ, где n ≠ −1, увеличьте показатель степени на единицу и разделите результат на новый показатель: F(x) = x⁽ⁿ⁺¹⁾/(n + 1) + C. Проверить формулу можно дифференцированием.
Почему для функции 1/x нельзя использовать обычную формулу для степенной функции?
Функцию 1/x можно записать как x⁻¹, но при n = −1 знаменатель n + 1 в степенной формуле равен нулю. На промежутке x > 0 её первообразная — ln x + C, поскольку производная ln x равна 1/x.
Как проверить, правильно ли найдена первообразная?
Найдите производную предполагаемой первообразной. Если после упрощения она совпадает с исходной функцией на рассматриваемом промежутке, ответ верен.
§ 16. Первообразная
