§ 17. Определенный интеграл

Определения и обозначения

Определённый интеграл ∫ₐᵇ f(x) dx — предел интегральных сумм при неограниченном измельчении разбиения отрезка [a; b], если этот предел существует. Числа a и b называют пределами интегрирования, а f(x) — подынтегральной функцией. Это обозначение задаёт число, связанное с функцией на конкретном отрезке.

Интегральная сумма — сумма произведений значений функции в выбранных точках на длины соответствующих частей разбиения отрезка. Её записывают как сумму f(xᵢ)Δxᵢ, где Δxᵢ — длина части, а xᵢ — точка внутри неё. Такая сумма нужна, чтобы приближённо оценить интеграл до перехода к пределу.

Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком неотрицательной функции, осью Ox и прямыми x = a, x = b. Её площадь связывают с определённым интегралом от функции на [a; b]. Это даёт геометрический смысл интеграла, когда график не опускается ниже оси.

Формула Ньютона — Лейбница — равенство ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), где F — первообразная функции f. Она позволяет вычислить интеграл по значениям первообразной на концах отрезка. Поэтому для вычисления не приходится каждый раз находить предел интегральных сумм.

Как это устроено

Чтобы составить интегральную сумму, отрезок [a; b] сначала делят точками на несколько частей. На каждой части выбирают произвольную точку xᵢ и находят значение функции f(xᵢ). Затем это значение умножают на длину Δxᵢ части и складывают полученные произведения. Так получается сумма прямоугольников, каждый из которых приближённо описывает небольшой участок под графиком.

Площадь отдельного прямоугольника приближённо равна произведению его высоты на ширину. Если функция на короткой части меняется мало, её график там почти не отличается от горизонтальной линии, поэтому прямоугольник хорошо заменяет участок криволинейной фигуры. При измельчении разбиения прямоугольников становится больше, а их ширина уменьшается. Если суммы приближаются к одному числу, это число и принимают за определённый интеграл.

Пределы a и b указывают, на каком отрезке рассматривают функцию: изменение отрезка может изменить значение интеграла. Буква x в записи — переменная интегрирования, то есть обозначение величины, по которой берут сумму; её можно заменить другой буквой, например t. Поэтому ∫ₐᵇ f(x) dx и ∫ₐᵇ f(t) dt обозначают одно и то же, если функция и пределы не изменились.

Найти предел сумм напрямую обычно трудно, но для вычислений можно использовать первообразную. Если F′(x) = f(x), формула Ньютона — Лейбница сводит вычисление к разности F(b) − F(a). Сначала находят первообразную, затем подставляют верхний и нижний пределы именно в указанном порядке. Благодаря этому длинный расчёт с разбиением заменяется вычислением двух значений.

Знак интеграла определяется знаком функции на отрезке: выше Ox функция положительна, ниже — отрицательна. Поэтому интеграл складывает площади частей над осью и вычитает площади частей под ней. Геометрическую площадь нельзя считать отрицательной, так что участки по разные стороны от Ox рассматривают отдельно и складывают их положительные площади. Если график целиком находится над осью, площадь совпадает со значением интеграла.

Основные свойства определённого интеграла

Перед вычислением проверь, подходит ли какое-либо свойство: например, можно ли разбить отрезок в точке смены знака или упростить подынтегральную функцию. При перестановке пределов не забудь минус, а при разбиении сохрани исходный порядок концов частей. Свойства помогают преобразовать интеграл, но не меняют его значение.

Разбор задач

Вычислить ∫₀² x dx, используя геометрический смысл интеграла.

1. На отрезке [0; 2] функция y = x неотрицательна, поэтому интеграл равен площади фигуры под графиком и над осью Ox. График проходит через точки (0; 0) и (2; 2), а вместе с осью образует прямоугольный треугольник. Значит, достаточно найти его площадь.

2. Основание треугольника равно длине отрезка: 2 − 0 = 2. Высота равна значению функции при x = 2, то есть 2. Площадь треугольника равна ½ · 2 · 2 = 2.

Ответ: 2.

Вычислить ∫₁³ (2x + 1) dx.

1. Для применения формулы Ньютона — Лейбница сначала найдём первообразную. Для функции 2x + 1 подходит F(x) = x² + x, поскольку F′(x) = 2x + 1. Теперь нужно вычислить F(3) − F(1), а не подставлять пределы в подынтегральную функцию.

2. Подставляем верхний предел: F(3) = 3² + 3 = 12. Подставляем нижний предел: F(1) = 1² + 1 = 2. Вычитаем значения в заданном порядке: 12 − 2 = 10.

Ответ: 10.

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком y = x², осью Ox и прямыми x = −1 и x = 2.

1. Функция x² неотрицательна на всём отрезке, в том числе по разные стороны от нуля. Поэтому площадь равна интегралу ∫₋₁² x² dx; точка x = 0 не является точкой смены знака этой функции. Чтобы не перепутать площадь с интегралом, проверим знак графика: парабола касается оси Ox в нуле и остаётся выше неё.

2. Первообразная функции x² — F(x) = x³/3. По формуле Ньютона — Лейбница получаем F(2) − F(−1) = 8/3 − (−1/3) = 9/3 = 3. Отрицательное значение F(−1) вычитается вместе со скобками, поэтому результат положителен.

Ответ: 3.

Типичные ошибки

Путать подынтегральную функцию и её первообразную — значит, подставлять пределы не в ту формулу. Так происходит, когда забывают, что интеграл вычисляют через F(b) − F(a), а не через значения f в концах. Проверь себя: производная найденной F должна равняться подынтегральной функции.

При перестановке пределов нельзя оставлять знак прежним. Ошибку допускают, воспринимая пределы как простой промежуток, хотя интеграл зависит и от порядка прохождения отрезка. Для проверки запиши свойство ∫ₐᵇ f(x) dx = −∫ᵇₐ f(x) dx.

Считать значение интеграла площадью во всех случаях неверно, потому что части графика ниже оси Ox дают отрицательный вклад. Путают эти величины, если не проверяют знак функции на всём отрезке. Разбей отрезок в точках пересечения графика с осью и найди геометрическую площадь как сумму положительных площадей.

Если забыть подставить один из пределов или неверно расставить скобки в F(b) − F(a), результат изменится. Особенно легко ошибиться, когда F(a) отрицательно: его значение нужно вычесть целиком. Проверь запись подстановки отдельно и только после этого выполняй вычитание.

Связь с другими темами

Для работы с интегралом нужны понятия функции, её графика и предела, а также умение находить первообразную. Предел объясняет, почему всё более точные интегральные суммы переходят в одно число, а свойства первообразных позволяют применять формулу Ньютона — Лейбница. Геометрические знания помогают связать интеграл с площадью фигуры.

Определённый интеграл пригодится при вычислении площадей фигур, ограниченных графиками и прямыми. Идея суммирования малых вкладов применяется и в задачах на накопление величин: например, когда общую величину находят по скорости её изменения. Поэтому интеграл связывает геометрию, алгебру и описание изменяющихся процессов.

Что запомнить

• Определённый интеграл задаётся функцией и пределами интегрирования.
• Интегральная сумма приближает значение определённого интеграла.
• Для вычисления интеграла используют формулу Ньютона — Лейбница.
• При перестановке пределов интегрирования меняется знак интеграла.
• Интеграл учитывает знак функции относительно оси Ox.
• Площадь фигуры неотрицательна, поэтому участки ниже оси Ox учитывают отдельно.