§ 3. Определённый интеграл

Определения и обозначения

Определённый интеграл — предел интегральных сумм, связанных с суммированием значений функции на отрезке. Он записывается как ∫ₐᵇ f(x) dx и даёт одно число. Такой объект нужен, чтобы находить накопленные величины: площади, объёмы, путь и другие результаты непрерывного изменения.

Интегральная сумма — сумма произведений значений функции на частях отрезка и длин этих частей: f(ξ₁)Δx₁ + f(ξ₂)Δx₂ + … + f(ξₙ)Δxₙ. Отрезок [a; b] разбивают на части, а в каждой выбирают точку ξᵢ и вычисляют значение функции. Сумма служит приближением искомого накопленного результата.

Подынтегральная функция и пределы интегрирования входят в запись ∫ₐᵇ f(x) dx. Функция f(x) показывает, что именно суммируется, x — переменная, нижний предел a — начальная точка, а верхний предел b — конечная. Обозначение dx напоминает о длинах очень малых частей отрезка.

Формула Ньютона — Лейбница утверждает: если F — первообразная функции f, то ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Поэтому вместо построения множества малых прямоугольников можно найти одну первообразную и вычислить два её значения. Формула особенно удобна для практических вычислений.

Как это устроено

Сначала отрезок [a; b] разбивают точками на части, например длины Δx₁, Δx₂ и так далее. Внутри каждой части выбирают точку ξᵢ и считают значение f(ξᵢ), после чего перемножают его с длиной части. Сумма f(ξ₁)Δx₁ + … + f(ξₙ)Δxₙ приближённо показывает общий результат, потому что каждый член оценивает вклад своей небольшой части.

Чем меньше длины частей, тем точнее функция на каждой из них заменяется почти постоянным значением. Если функция достаточно хорошо ведёт себя, разные способы выбора точек дают всё более близкие суммы. При измельчении разбиения суммы стремятся к одному пределу, поэтому этот предел называют определённым интегралом функции на данном отрезке.

Для неотрицательной функции f(x) каждый член интегральной суммы можно рассматривать как площадь прямоугольника с высотой f(ξᵢ) и шириной Δxᵢ. Сумма площадей таких прямоугольников приближает область под графиком, поскольку кусочки верхней границы заменяются горизонтальными отрезками. При увеличении числа прямоугольников их суммарная площадь стремится к площади криволинейной трапеции.

Пусть F′(x) = f(x). Тогда изменение первообразной от a до b складывается из малых изменений, связанных со значениями f, поэтому накопленный результат равен F(b) − F(a). Нельзя подставить только верхний предел: значение F(a) описывает уже накопленную величину в начальной точке и должно быть вычтено. Так появляется формула Ньютона — Лейбница.

Если поменять пределы местами, направление движения по отрезку станет обратным, и каждый вклад получит противоположный знак: ∫ₐᵇ f(x) dx = −∫ᵇₐ f(x) dx. При совпадающих пределах путь накопления отсутствует, поэтому ∫ₐᵃ f(x) dx = 0. Эти свойства следуют не из отдельных вычислительных приёмов, а из смысла интеграла как направленного накопления.

Основные свойства определённого интеграла

Таблицу удобно использовать перед вычислением: сначала проверьте, можно ли разделить сумму, вынести множитель или разбить промежуток. При обратных пределах сначала определите знак, а затем при необходимости переставьте их. Аддитивность позволяет заменить один сложный промежуток несколькими более простыми.

Разбор задач

Задача 1

Вычислите ∫₀² 3x² dx. Здесь функция 3x² имеет первообразную, поэтому применять интегральные суммы вручную не требуется. Нужно вычислить разность значений первообразной на концах отрезка.

1. Находим первообразную: F(x) = x³, поскольку F′(x) = 3x².
2. Применяем формулу Ньютона — Лейбница: ∫₀² 3x² dx = F(2) − F(0).
3. Подставляем пределы: 2³ − 0³ = 8.

Ответ: 8.

Задача 2

Вычислите ∫₋₁¹ (x² + 2x) dx, используя свойства интеграла. Разделим интеграл суммы на два, чтобы рассмотреть слагаемые отдельно. Функция 2x нечётна, а отрезок [−1; 1] симметричен относительно нуля.

1. Записываем линейность: ∫₋₁¹ (x² + 2x) dx = ∫₋₁¹ x² dx + ∫₋₁¹ 2x dx.
2. Для нечётной функции на симметричном отрезке ∫₋₁¹ 2x dx = 0.
3. Находим оставшийся интеграл: ∫₋₁¹ x² dx = [x³/3]₋₁¹ = 1/3 − (−1/3) = 2/3.

Ответ: 2/3.

Задача 3

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком y = 4 − x² и осью Ox на отрезке [0; 2]. На этом отрезке функция неотрицательна: она равна нулю при x = 2 и положительна левее. Поэтому геометрическая площадь совпадает с определённым интегралом.

1. Записываем площадь: S = ∫₀² (4 − x²) dx.
2. Находим первообразную: F(x) = 4x − x³/3.
3. Вычисляем: S = (8 − 8/3) − 0 = 16/3.

Ответ: 16/3 квадратных единицы.

Типичные ошибки

Пределы интегрирования иногда путают и подставляют в обратном порядке. Из-за этого ответ меняет знак, хотя функция и отрезок остались прежними. Проверьте себя по записи: нижний предел должен соответствовать начальной точке, а перестановка пределов требует знака минус.

Некоторые записывают только первообразную и останавливаются на выражении F(x). Это ещё не значение определённого интеграла, потому что границы отрезка не использованы. Всегда вычисляйте F(b) − F(a), подставляя оба предела.

Определённый интеграл ошибочно считают площадью при любых знаках функции. Участки под осью Ox дают отрицательный вклад, поэтому положительные и отрицательные площади могут частично сократиться. Перед геометрической интерпретацией проверьте знак f(x) на всём отрезке.

При нахождении площади между графиком и осью Ox не проверяют, пересекает ли график ось. Если функция меняет знак, один общий интеграл может не дать геометрическую площадь. Найдите нули функции, разделите отрезок на части и складывайте площади без знака.

Связь с другими темами

Для изучения интеграла нужны понятия первообразной и предела, а также правила нахождения производных и первообразных. Геометрический смысл опирается на умение вычислять площади простых фигур и понимать координатную плоскость. Производная и интеграл связаны формулой Ньютона — Лейбница.

Определённый интеграл применяется не только для площадей криволинейных фигур. С его помощью находят объёмы тел, длины некоторых линий и величины, которые накапливаются постепенно, например путь по известной скорости. Поэтому интеграл связывает алгебраические вычисления с геометрическими и физическими задачами.

Что запомнить

• Определённый интеграл записывают с нижним и верхним пределами.
• Интеграл можно понимать как предел интегральных сумм.
• Для непрерывной функции на отрезке определённый интеграл существует.
• ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), если F — первообразная f.
• При перестановке пределов интеграл меняет знак.
• Интеграл по промежутку складывается из интегралов по его частям.