§ 2. Мера Жордана

Определения и обозначения

Элементарное множество — конечное объединение прямоугольных параллелепипедов. В плоском случае это объединение прямоугольников, а в пространстве — обычных параллелепипедов. Объём такого множества находят по частям, складывая объёмы составляющих фигур без двойного учёта общих частей. Оно нужно как простой объект, для которого измерение уже понятно.

Внутреннее содержимое ограниченного множества — наибольший объём элементарного множества, лежащего внутри него. Точнее, в общем определении берут точную верхнюю грань возможных объёмов. Эта величина оценивает объём исходного множества снизу и показывает, сколько пространства можно уверенно считать заполненным.

Внешнее содержимое — наименьший объём элементарного множества, покрывающего данное ограниченное множество. Точнее, рассматривают точную нижнюю грань объёмов всех таких покрытий. Оно даёт верхнюю оценку и учитывает также промежутки, которые приходится захватить вместе с множеством.

Мера Жордана — общее значение внутреннего и внешнего содержимого, если эти величины совпадают. Тогда множество называют измеримым по Жордану. Определение превращает приближённые оценки в единственное число, которое можно считать площадью или объёмом множества.

Как это устроено

Объём элементарного множества складывается из объёмов его частей, потому что непересекающиеся части занимают разные участки пространства. Если части имеют общие точки только на границах, их объёмы всё равно можно складывать: границы не дают объёма. При другом разбиении получаются другие слагаемые, но итог остаётся тем же, поскольку измеряется один и тот же набор точек.

У произвольного ограниченного множества может не быть простой формы, поэтому его объём сразу не вычисляют. Внутри него размещают элементарные множества и получают оценку снизу, а вокруг него строят элементарные покрытия и получают оценку сверху. Чем удачнее выбраны части, тем меньше пространство между двумя оценками.

Разбиение уточняют, деля прямоугольники на более мелкие. Внутренняя оценка при этом не уменьшается, а внешняя не увеличивается: внутри можно найти больше подходящих частей, а покрытие становится точнее. Если разность между оценками удаётся сделать сколь угодно малой, они имеют одно и то же предельное значение.

Решающую роль играет граница множества — точки, около каждой из которых есть и точки множества, и точки, ему не принадлежащие. Внутренняя и внешняя конструкции различаются только вблизи этой границы, потому что точки внутри или вне множества распознаются с некоторым запасом. Поэтому ограниченное множество измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет меру ноль.

Для прямоугольника граница состоит из конечного числа отрезков, а для прямоугольного параллелепипеда — из конечного числа граней; их мера соответственно равна нулю в нужной размерности. Поэтому их мера Жордана совпадает с привычной площадью или объёмом. Тем же способом измеримы многоугольники и многие тела с гладкой или кусочно-гладкой границей, включая круг и шар.

Внутреннее и внешнее содержимое и мера Жордана

В таблице сначала определите, какие элементарные множества рассматриваются: находящиеся внутри исходного множества или покрывающие его. Затем сравните получаемые объёмы. Совпадение двух оценок означает измеримость, а само совпавшее число — меру Жордана.

Разбор задач

Задача 1. Прямоугольник

Условие. Найти меру прямоугольника со сторонами 3 и 5, рассматривая его как элементарное множество. Нужно установить не только число, но и почему оно действительно является мерой Жордана.

1. Прямоугольник уже является элементарным множеством, состоящим из одной части.
2. Его площадь равна произведению сторон: 3 · 5 = 15.
3. Сам прямоугольник можно взять и как вписанное множество, и как покрытие. Поэтому внутренняя и внешняя оценки обе равны 15.

Ответ: мера Жордана равна 15. Совпадение оценок объясняется тем, что исходная фигура сама является элементарной.

Задача 2. Объединение двух прямоугольников

Условие. Два непересекающихся прямоугольника имеют стороны 2 и 4, а также 3 и 5. Найти меру их объединения. Слово «непересекающиеся» означает, что общая площадь частей равна нулю.

1. Первый прямоугольник имеет площадь 2 · 4 = 8.
2. Площадь второго прямоугольника равна 3 · 5 = 15.
3. Объединение является элементарным множеством, поэтому складываем площади частей: 8 + 15 = 23.

Ответ: мера объединения равна 23. Сложение допустимо, поскольку прямоугольники не имеют общей области положительной площади.

Задача 3. Круг

Условие. Обосновать измеримость круга радиуса 1 по Жордану и найти его меру. Круг рассматривается как плоское множество, а его граница является окружностью.

1. Окружность можно приближать снаружи и изнутри многоугольниками, поэтому разность внешней и внутренней площадей можно сделать сколь угодно малой.
2. Граница круга имеет меру ноль, следовательно, круг измерим по Жордану.
3. Для круга радиуса r обычная площадь равна πr². При r = 1 получаем π · 1² = π.

Ответ: круг измерим по Жордану, его мера равна π. Здесь мера Жордана совпадает с привычной площадью круга.

Типичные ошибки

Первая ошибка — перепутать содержимые. Внешнее содержимое строится по покрытиям и потому даёт верхнюю оценку, а внутреннее — по фигурам внутри множества и даёт нижнюю. Проверка проста: внутренняя величина не может быть больше внешней.

Вторая ошибка — объявить множество измеримым без сравнения оценок. Одной ограниченности или красивой формы недостаточно: нужно установить совпадение внутреннего и внешнего содержимого. Полезно явно записать обе величины или применить критерий границы нулевой меры.

Третья ошибка — считать любую ограниченную границу имеющей нулевую меру. Ограниченность лишь помещает границу в большой параллелепипед и ничего не говорит о её сложности. Перед выводом нужно проверить, можно ли покрыть границу элементарными множествами сколь угодно малого объёма.

Четвёртая ошибка — складывать меры пересекающихся частей напрямую. Общая область тогда учитывается дважды. Сначала проверьте пересечение, а при необходимости используйте формулу μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B) − μ(A ∩ B).

Связь с другими темами

Для изучения меры Жордана нужны понятия прямоугольника и прямоугольного параллелепипеда, их площади и объёма, а также операции с множествами: объединение, пересечение и разность. Эти знания позволяют строить элементарные части и покрытия.

Мера Жордана подготавливает переход к интегралу Римана. Разбиение области на маленькие прямоугольники и суммирование их площадей или объёмов становится основой вычисления площадей плоских фигур и объёмов тел.

Что запомнить

• Элементарное множество составлено из конечного числа прямоугольных параллелепипедов.
• Внутреннее содержимое оценивает объём снизу.
• Внешнее содержимое оценивает объём сверху.
• Множество измеримо по Жордану, если внутреннее и внешнее содержимое совпадают.
• Общее значение этих содержимых называется мерой Жордана.
• Ограниченное множество измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет меру ноль.