§ 1. Элементарные фигуры

Определения и обозначения

Ломаная — последовательность отрезков, в которой конец каждого предыдущего отрезка является началом следующего. Отрезки называют звеньями, а точки их соединения — вершинами. Так фигура задаётся не одним отрезком, а цепочкой отрезков, имеющей заданный порядок.

Простая ломаная — ломаная, у которой несоседние звенья не имеют общих точек. Соседние звенья могут иметь общую вершину, в которой они соединены, но не должны пересекаться где-либо ещё. Это условие позволяет отличить ломаную без самопересечений от сложной цепочки.

Многоугольник — замкнутая простая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Сама ломаная образует границу многоугольника, а расположенная внутри неё область также входит в фигуру. Поэтому одного контура недостаточно, если нужно говорить о самом многоугольнике как о плоской фигуре.

Выпуклый многоугольник — многоугольник, целиком лежащий по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Иными словами, ни одна из таких прямых не «разрезает» фигуру на части по обе стороны от себя. Это условие отличает выпуклые многоугольники от невыпуклых.

Как это устроено

Чтобы получить ломаную, выбирают несколько отрезков и соединяют их так, чтобы конец одного совпадал с началом следующего. Такое соединение важно: без общей точки отрезки были бы отдельными фигурами, а не единой цепочкой. Каждый отрезок в цепочке — звено, а точка, где сходятся два последовательных звена, — вершина. Если конец последнего звена совпадает с началом первого, ломаная замыкается.

При проверке простоты сравнивают звенья с учётом их порядка. Соседние звенья по построению имеют общую вершину, поэтому само это совпадение не считается самопересечением. У простой ломаной несоседние звенья не соприкасаются, а соседние не имеют дополнительных общих точек помимо общей вершины. Если звенья пересекаются иначе, ломаная самопересекается и простой не является.

Для многоугольника недостаточно, чтобы отрезки просто образовывали цепочку: граница должна замкнуться, иначе она не ограничит область со всех сторон. Но и замкнутости мало: пересекающая себя ломаная не задаёт простой контур многоугольника. Поэтому требуется сразу два условия — замкнутость и простота. Многоугольник включает не только этот контур, но и ограниченную им часть плоскости, то есть его внутреннюю область.

Выпуклость проверяют отдельно от простоты. Для каждой стороны мысленно продолжают её прямую и проверяют, лежит ли весь многоугольник по одну сторону от неё; достаточно также проверить, по какую сторону находятся остальные вершины. Если это верно для каждой стороны, многоугольник выпуклый. Из этого признака следует свойство: отрезок между любыми двумя точками выпуклого многоугольника остаётся внутри фигуры, тогда как у невыпуклого он может выйти наружу.

Число сторон определяет название многоугольника: у треугольника три стороны, у четырёхугольника — четыре, у пятиугольника — пять. В замкнутой ломаной каждому звену соответствует сторона, а каждой точке соединения звеньев — вершина, поэтому их числа равны. Угол многоугольника образован двумя сторонами, сходящимися в одной вершине. Такое соответствие помогает описывать фигуру и проверять, все ли её элементы учтены.

Основные свойства ломаных и многоугольников

Пользуйся таблицей как последовательностью проверок: сначала выясни, соединены ли отрезки в ломаную, затем проверь простоту и замкнутость. После этого можно установить, является ли фигура многоугольником, и отдельно проверить её выпуклость. Эти признаки не заменяют друг друга: простая замкнутая ломаная может ограничивать невыпуклую фигуру.

Разбор задач

Проверка простой ломаной по координатам

Даны вершины ломаной A(0; 0), B(3; 0), C(3; 2), D(1; 1). Нужно определить, простая ли она. Её звенья — AB, BC и CD; соседние звенья AB и BC, а также BC и CD имеют общую вершину. Проверять нужно прежде всего несоседние звенья AB и CD.

1. Выпишем звенья в заданном порядке: AB, BC, CD.
2. Отметим, что AB и CD — несоседние, поскольку между ними находится BC.
3. Отрезок AB лежит на оси y = 0 от x = 0 до x = 3. У точек C и D координаты y равны 2 и 1, то есть весь отрезок CD расположен выше оси y = 0 и не пересекает AB.
4. Соседние звенья соединены в общих вершинах B и C; иных пересечений у них нет, поскольку их направления не возвращают отрезки назад по одной линии.

Ответ: ломаная простая. При такой проверке нельзя считать общую вершину соседних звеньев самопересечением, но нужно проверить каждую пару несоседних звеньев.

Проверка замкнутой ломаной

Пусть последовательность вершин имеет вид A(0; 0), B(2; 2), C(0; 2), D(2; 0), после чего ломаная возвращается в A. Она замкнута, но на рисунке пересекается в середине: диагональные звенья AB и CD имеют общую точку. Требуется решить, задаёт ли она многоугольник.

1. Проверим замкнутость: последнее звено DA соединяет последнюю вершину D с начальной A, значит, контур замкнулся.
2. Перечислим звенья: AB, BC, CD и DA. Звенья AB и CD не соседние, потому что между ними в цепочке находятся BC и DA.
3. Найдём пересечение AB и CD. На AB координаты точек можно задать как (2t; 2t), а на CD — как (2s; 2), где 0 ≤ t, s ≤ 1. При t = ½ и s = ½ обе записи дают точку (1; 1).
4. Несоседние звенья имеют общую точку, поэтому ломаная не простая. Для многоугольника требуется простая замкнутая ломаная, следовательно, одного условия замкнутости недостаточно.

Ответ: эта ломаная не задаёт многоугольник, так как самопересекается.

Проверка выпуклости по координатам

Дан четырёхугольник с вершинами A(0; 0), B(4; 0), C(3; 2), D(0; 2), записанными по порядку обхода. Нужно проверить выпуклость по расположению вершин относительно прямых сторон. Удобно подставлять координаты остальных вершин в уравнения этих прямых и проверять, находятся ли они по одну сторону от каждой прямой.

1. Для AB прямая имеет уравнение y = 0. Вершины C и D имеют положительные значения y, значит, находятся по одну сторону от неё.
2. Для BC уравнение прямой — 2x + y = 8. Для вершин A и D левая часть равна соответственно 0 и 2, то есть меньше 8; они по одну сторону прямой.
3. Для CD прямая имеет уравнение y = 2. Вершины A и B расположены ниже этой прямой, поэтому снова оказываются по одну сторону от неё.
4. Для DA уравнение прямой — x = 0. Вершины B и C имеют положительные x и лежат по одну сторону от неё.
5. Условие выполняется для всех четырёх сторон. Значит, многоугольник выпуклый; по признаку выпуклости отрезок между любыми двумя его точками остаётся внутри него.

Ответ: четырёхугольник выпуклый. Проверять нужно каждую сторону: одной удачно выбранной прямой недостаточно, чтобы сделать вывод о всей фигуре.

Типичные ошибки

Считать любую замкнутую ломаную многоугольником. Замкнутость показывает лишь, что цепочка вернулась к начальной точке, но она может пересекать себя. Ошибка возникает, когда проверяют только совпадение начала и конца. Проверь несоседние звенья: если у них есть общие точки, ломаная не простая и многоугольник не образует.

Называть многоугольником только его границу. Контур действительно показывает форму фигуры, поэтому его легко принять за весь многоугольник. Однако по определению в него входит и ограниченная контуром часть плоскости. Для самопроверки уточни, обсуждается ли только линия или вся фигура вместе с внутренней областью.

Путать вершины и звенья. Вершина — точка, в которой соединяются соседние отрезки, а звено — сам отрезок между вершинами. Путаница появляется из-за того, что оба элемента описывают одну и ту же цепочку. Можно проверить себя подсчётом: точки отмечают и называют буквами, а звенья соединяют эти точки; у замкнутого многоугольника их числа равны.

Считать простой многоугольник обязательно выпуклым. Отсутствие самопересечений не означает, что все части фигуры выступают наружу: у простого контура может быть вогнутая вершина. Чтобы не ошибиться, проверь положение фигуры относительно прямых всех её сторон. Если хотя бы для одной стороны точки фигуры оказываются по разные стороны от содержащей её прямой, многоугольник невыпуклый.

Связь с другими темами

Для работы с ломаной нужны понятия точки, отрезка, прямой и принадлежности точки плоскости. В дальнейшем ломаные и многоугольники помогают описывать многогранники: их грани являются многоугольниками, а рёбра и вершины образуют пространственную фигуру. Свойства многоугольников используются в планиметрии и стереометрии при изучении углов, площадей и сечений. Поэтому умение различать границу, внутреннюю область и выпуклость пригодится при разборе более сложных фигур.

Что запомнить

• Ломаная состоит из звеньев, соединённых в последовательность.
• Простая ломаная не имеет самопересечений.
• Многоугольник задаётся замкнутой простой ломаной и ограниченной ею частью плоскости.
• Число сторон многоугольника равно числу его вершин.
• Выпуклость — более сильное условие, чем отсутствие самопересечений.