"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Объём геометрического тела показывает, какую часть пространства оно занимает. Его измеряют в кубических единицах и находят через площадь основания, высоту или радиус. Главные формулы темы описывают объёмы призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара. Принцип Кавальери объясняет, почему тела с одинаковыми сечениями имеют одинаковые объёмы, и помогает переносить известные формулы на более сложные фигуры.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём геометрического тела — величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом. Его измеряют в кубических единицах: мм³, см³, м³ и других. Объём положителен, не меняется при перемещении тела, а объём составного тела равен сумме объёмов частей без общих внутренних областей.
Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sоснh. Высота прямой призмы перпендикулярна плоскости основания и совпадает с её боковым ребром. Формула нужна, чтобы заменить объём пространственной фигуры двумя более простыми величинами: площадью плоского основания и расстоянием между основаниями.
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: V = ⅓Sоснh. В формулу входит площадь именно многоугольника-основания, а h — перпендикулярное расстояние от вершины до плоскости основания. Наклонное боковое ребро или апофема сами по себе высотой не являются.
Принцип Кавальери утверждает: тела имеют равные объёмы, если их высоты равны, а площади сечений плоскостями, параллельными основаниям, совпадают на каждой высоте. Сечение — это фигура, полученная пересечением тела с плоскостью. Принцип нужен для сравнения сложных тел с уже известными фигурами.
Свойства объёма позволяют сравнивать тела и разбивать их на части. Если две фигуры можно составить из одинаковых по объёму частей, их объёмы равны. Поэтому сложное тело удобно разделить на призмы, цилиндры, пирамиды или другие знакомые фигуры, вычислить их объёмы и сложить результаты.
Формулу призмы можно понять через разбиение основания на небольшие прямоугольники. Над каждым таким участком получается почти прямоугольный параллелепипед, объём которого равен площади участка, умноженной на общую высоту. При сложении всех частей площади дают площадь основания, поэтому получается V = Sоснh; точное обоснование связано с равенством параллельных сечений.
Пирамида имеет треугольные боковые грани, поэтому её сечения, параллельные основанию, постепенно уменьшаются к вершине. При одинаковых основании и высоте три подходящие пирамиды можно рассматривать как части призмы, заполняющие её объём. Отсюда следует, что объём одной пирамиды составляет треть произведения Sосн на h.
Принцип Кавальери переносит это рассуждение на тела, которые могут иметь необычную форму. На каждой высоте сравнивают площади сечений двух тел, а не их внешний вид. Если сечения равны и высоты совпадают, одинаковые слои имеют одинаковый объём, значит, одинаков объём всего тела.
Для тел вращения основанием обычно служит круг. Поэтому у цилиндра Sосн = πr² и V = πr²h, а у конуса V = ⅓πr²h: его основание имеет радиус r, а h — расстояние от вершины до плоскости основания. Для шара используется только радиус R, поскольку шар не имеет выделенного плоского основания: V = 4⁄3πR³.
| Тело | Формула объёма | Обозначения | Условия применения |
|---|---|---|---|
| Прямая призма | V = Sоснh | Sосн — площадь основания, h — высота | Основания равны и параллельны; h перпендикулярна основаниям |
| Пирамида | V = ⅓Sоснh | Sосн — площадь основания, h — высота от вершины | Основание — многоугольник; h перпендикулярна его плоскости |
| Цилиндр | V = πr²h | r — радиус основания, h — высота | Основания — равные параллельные круги |
| Конус | V = ⅓πr²h | r — радиус основания, h — высота | Основание — круг; h проведена от вершины перпендикулярно основанию |
| Шар | V = 4⁄3πR³ | R — радиус шара | Известен радиус шара |
Сначала определите вид тела и найдите величины, входящие в соответствующую формулу. Затем проверьте, что площадь записана в квадратных, а высота и радиус — в линейных единицах. После вычислений объём должен быть выражен в кубических единицах.
Задача 1. Основание прямой призмы имеет площадь 18 см², а высота равна 7 см. Найдите объём призмы. Здесь уже дана площадь основания, поэтому вычислять её по сторонам не требуется.
Ответ: 126 см³. Ход решения показывает, что для объёма нужна именно площадь основания, а не длина отдельного ребра.
Задача 2. Пирамида имеет площадь основания 30 см² и высоту 9 см. Найдите её объём. В отличие от призмы, пирамида занимает только треть объёма фигуры с теми же основанием и высотой.
Ответ: 90 см³. Множитель ⅓ нельзя пропускать, иначе получится объём соответствующей призмы, а не пирамиды.
Задача 3. Составное тело образовано цилиндром радиуса 3 см и высоты 8 см и конусом того же радиуса и высоты 4 см. Найдите объём тела. Так как части соединены без перекрытия, их объёмы складываются.
Ответ: 84π см³, или приблизительно 263,9 см³ при π ≈ 3,14. Общий радиус не означает, что формулы частей одинаковы: для конуса сохраняется множитель ⅓.
Подстановка наклонного ребра вместо высоты возникает, когда ученик выбирает самый заметный отрезок на рисунке. Высота — это перпендикулярное расстояние между основаниями, а в пирамиде — перпендикуляр от вершины к плоскости основания. Проверьте себя: у высоты должен быть прямой угол с плоскостью основания.
Множитель ⅓ иногда забывают в формулах пирамиды и конуса, потому что они похожи на формулы призмы и цилиндра. Без этого множителя получается тело, в три раза большее по объёму. Перед вычислением назовите фигуру вслух и сверьте её формулу.
Длина стороны основания не заменяет его площадь. Например, для квадратного основания сначала нужно найти a², а для круглого — πr². Проверьте размерность: в формулу объёма должна входить величина в квадратных единицах.
Нельзя складывать или сравнивать объёмы в разных единицах. Ошибка появляется, когда один результат записан в см³, а другой — в м³. Перед вычислениями переведите все длины и площади к согласованным единицам.
Для этой темы нужны формулы площадей плоских фигур, поскольку площадь основания входит почти в каждый объём. Также необходимо понимать перпендикулярность и различать высоту, боковое ребро и наклонный отрезок.
Формулы объёмов применяются при изучении тел вращения, составных фигур и задач на вместимость. Они связывают геометрию с практическими расчётами: объём жидкости, размер упаковки или количество материала измеряются в кубических единицах.
Почему объём пирамиды содержит множитель одна треть?
Три пирамиды с равными основаниями и общей высотой могут составить призму такого же основания и высоты. Поэтому объём каждой пирамиды равен одной трети объёма призмы: V = ⅓Sоснh.
Чем высота тела отличается от его бокового ребра?
Высота — это перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований или от вершины до плоскости основания. Боковое ребро может быть наклонным, поэтому его длина не всегда совпадает с высотой.
Можно ли выбрать любое основание призмы для вычисления объёма?
Да, если выбранная грань действительно является основанием, а высота измеряется перпендикулярно плоскости этой грани. Произведение площади основания на соответствующую высоту даст один и тот же объём.
Как найти объём тела, составленного из нескольких частей?
Тело разбивают на простые фигуры, находят объём каждой части и складывают результаты. Если из одного тела вырезана часть, её объём вычитают.
Как принцип Кавальери помогает находить объём?
Он позволяет сравнить неизвестное тело с известным, если их высоты равны, а площади сечений на каждой высоте совпадают. Тогда объёмы тел равны, и можно использовать формулу известной фигуры.
§ 4. Объёмы геометрических фигур в пространстве
