§ 1. Формулы для подсчёта условных вероятностей

Определения и обозначения

Условная вероятность события A при условии события B — это вероятность A с учётом того, что B уже произошло. Её обозначают P(A|B), где вертикальная черта читается «при условии», а условие P(B) > 0 означает, что событие B вообще может наступить. Такая запись нужна, когда новая информация меняет набор возможных исходов.

События называют зависимыми, если наступление одного изменяет вероятность другого. Например, при извлечении шара без возвращения первый результат меняет состав урны и влияет на шансы во втором извлечении. Понятие зависимости помогает понять, почему вероятности этапов нельзя всегда просто перемножать.

События независимы, если наступление одного не меняет вероятность другого. Для таких событий P(A|B) = P(A), если P(B) > 0. Это определение позволяет проверить, можно ли считать вероятность A прежней после того, как стало известно о B.

Формула умножения вероятностей связывает вероятность совместного наступления событий с условной вероятностью: P(A∩B) = P(B)P(A|B). Она нужна, чтобы находить вероятность того, что произойдут оба события, в том числе при последовательных испытаниях.

Как это устроено

Представим все исходы случайного опыта как множество возможных вариантов. Если известно, что произошло B, варианты вне события B исключаются: они уже не могут быть результатом опыта, соответствующим условию. Поэтому пространство рассматриваемых исходов сужается до исходов B, а событие A в новой ситуации означает пересечение A∩B.

Чтобы найти вероятность A среди оставшихся вариантов, нужно сравнить вероятность исходов, одновременно принадлежащих A и B, с вероятностью самого B. Так получается формула P(A|B) = P(A∩B) / P(B). Деление возможно только при P(B) > 0: если B невозможно, нельзя рассматривать его наступление как известное условие и знаменатель оказался бы нулём.

Преобразуем формулу условной вероятности: умножим обе её части на P(B). Получим P(A∩B) = P(B)P(A|B), то есть сначала учитывается вероятность условия B, а затем — вероятность A внутри ситуации, где B уже произошло. Такой переход особенно удобен, когда опыт состоит из последовательных шагов и вероятность второго зависит от результата первого.

Для независимых событий условие B не меняет вероятность A, поэтому P(A|B) = P(A). Подставляя это равенство в формулу умножения, получаем P(A∩B) = P(B)P(A). Если же условие меняет вероятность, заменять P(A|B) на P(A) нельзя: сначала нужно определить условную вероятность.

Порядок записи можно выбирать по удобству: P(A∩B) = P(B)P(A|B), а также P(A∩B) = P(A)P(B|A), если соответствующие условия имеют положительную вероятность. Смысл результата от выбора порядка не меняется, потому что речь идёт об одном пересечении. Выбирайте тот порядок, где легче вычислить первый множитель и вероятность следующего события при уже известных результатах; затем проверьте, что произведение не превышает вероятности каждого из событий.

Формулы условной вероятности и совместного наступления событий

Сначала найдите в таблице строку, соответствующую ситуации: для зависимости важна условная вероятность, а для независимости достаточно обычных вероятностей. В последовательном опыте каждый новый множитель учитывает уже известные предыдущие события. Проверьте, что условие в записи после вертикальной черты совпадает с тем, что уже произошло по условию задачи.

Разбор задач

Шары без возвращения

В урне 5 белых и 3 чёрных шара. Первый вынутый шар оказался белым, и его не возвращают. Найдём вероятность того, что белым окажется второй шар. После первого извлечения в урне осталось 7 шаров, из них 4 белых.

1. Обозначим через B событие «первый шар белый», а через A — «второй шар белый». Искомое — P(A|B), потому что условие сообщает результат первого извлечения. Мы не считаем вероятность того, что первый шар белый: это уже известно.
2. После удаления белого шара остаются 4 белых и 3 чёрных шара. Все 7 оставшихся шаров равновозможны при извлечении, и 4 из них подходят событию A. Поэтому P(A|B) = 4/7.

Ответ: 4/7. Условная вероятность отличается от первоначальной доли белых шаров 5/8, поскольку состав урны изменился. Если бы шар возвращали, вероятность второго белого при условии первого белого осталась бы 5/8.

Два туза из колоды

Из колоды в 36 карт последовательно достают две карты без возвращения. Найдём вероятность того, что обе окажутся тузами. Первый туз уменьшает число карт и число оставшихся тузов, поэтому события зависимы.

1. Пусть A — первый раз достали туза, а B — второй раз достали туза. Требуется P(A∩B), то есть одновременное выполнение обоих событий. По формуле умножения P(A∩B) = P(A)P(B|A).
2. В колоде 4 туза из 36 карт, значит P(A) = 4/36. Если первый туз уже вынут, остаются 3 туза из 35 карт, поэтому P(B|A) = 3/35. Перемножаем: (4/36)·(3/35) = 1/105.

Ответ: 1/105. Здесь нельзя умножать две одинаковые вероятности 4/36: после первого извлечения условие изменилось. Полученная вероятность меньше вероятности одного туза, что соответствует смыслу события «оба раза туз».

Брак на втором станке

Первый станок выпускает 60% изделий, второй — 40%; доля брака составляет соответственно 2% и 5%. Найдём вероятность брака при условии, что изделие сделано на втором станке. Это условная вероятность по известному источнику производства, а не вероятность случайно выбрать второй станок.

1. Обозначим через B событие «изделие изготовлено на втором станке», а через A — «изделие бракованное». Требуется P(A|B), поскольку в задаче уже известно B. Доля выпуска второго станка 40% не является ответом: она описывает P(B), а не вероятность брака при этом условии.
2. Среди изделий второго станка бракованными оказываются 5%. Следовательно, P(A|B) = 0,05. Доля выпуска каждого станка нужна, если бы требовалось найти вероятность брака среди всех изделий, но в этом вопросе она не используется.

Ответ: 5%. Проверка смысла проста: при известном изготовителе рассматриваем только его изделия и берём его долю брака. Умножать 40% на 5% здесь не нужно, поскольку это дало бы вероятность одновременно выбрать изделие второго станка и получить брак, а не условную вероятность брака.

Типичные ошибки

Ошибка: записывать P(A|B) = P(A) / P(B). В формуле в числителе должна стоять вероятность совместного события P(A∩B), иначе не учитывается, какие исходы одновременно принадлежат A и B. Проверка: по определению условная вероятность не может превышать 1, а правильная формула получается из доли исходов A внутри B.

Ошибка: путать P(A|B) и P(B|A), считая, что условие и искомое событие взаимозаменяемы. Обычно вероятность брака при условии второго станка отличается от вероятности второго станка при условии брака, потому что у этих выражений разные основания для сравнения. Проверяйте чтение записи вслух: событие после черты — то, что уже известно.

Ошибка: применять P(A∩B) = P(A)P(B) к зависимым событиям. Такое произведение верно для независимых событий, а при извлечении без возвращения второй множитель обычно должен быть условным. Проверка: спросите, изменилось ли число подходящих исходов после первого события; если изменилось, вычислите вероятность следующего шага с учётом этого изменения.

Ошибка: использовать P(A|B), когда P(B) = 0, или забывать о положительности знаменателя. В этом случае формула делит на ноль, а само условие B не может наступить. Перед вычислением убедитесь, что условие задачи возможно и имеет положительную вероятность.

Связь с другими темами

Для работы с условной вероятностью нужны классическое определение вероятности, умение считать исходы и операции над событиями, в частности их пересечение. Позже это понятие понадобится в формулах полной вероятности и Байеса, где учитываются разные возможные причины события. Оно также помогает решать задачи на последовательные испытания, когда результат одного шага влияет на следующий.

Условная вероятность объясняет зависимость событий и показывает, как новую информацию включать в вероятностную модель. Этот подход применяют и в статистическом анализе данных: вероятность оценивают с учётом уже известных условий или признаков. Навык правильно отделять условие от искомого события полезен во всех таких задачах.

Что запомнить

• P(A|B) — вероятность события A при условии, что B уже произошло.
• P(A|B) = P(A∩B) / P(B), если P(B) > 0.
• P(A∩B) = P(B)P(A|B).
• Для независимых событий P(A|B) = P(A).
• Для независимых событий P(A∩B) = P(A)P(B).
• В условной вероятности сначала нужно определить, какое событие является условием.
• При последовательных испытаниях вероятность совместного события находят поэтапным умножением.