§ 2. Формула произведения вероятностей

Определения и обозначения

Условная вероятность события B при условии, что событие A уже произошло, обозначается P(B|A). В школьном определении она задаётся только при P(A)>0. Такое обозначение позволяет считать вероятность B не во всей исходной ситуации, а среди случаев, где A выполнено.

Зависимыми называют события, для которых наступление одного меняет вероятность другого. В этом случае P(B|A) не равно P(B), потому что условие A влияет на ситуацию. Понятие нужно, чтобы правильно учитывать изменения, возникающие после первого действия.

Независимые события — это события, для которых P(B|A)=P(B). Значит, знание о наступлении A не меняет шансы события B. Например, результат одного броска игральной кости не влияет на результат следующего броска.

Формула произведения вероятностей имеет вид P(A∩B)=P(A)·P(B|A). Для независимых событий она упрощается: P(A∩B)=P(A)·P(B). Знак ∩ означает одновременное наступление обоих событий.

Как это устроено

Вероятность одновременного наступления A и B можно представить как вероятность сначала получить A, а затем — B в изменившихся условиях. Поэтому вероятность первого шага умножают на вероятность второго шага после наступления первого. Так получается P(A∩B)=P(A)·P(B|A).

Основанием формулы служит определение условной вероятности: P(B|A)=P(A∩B)/P(A), если P(A)>0. Умножив обе части на P(A), получаем P(A∩B)=P(A)·P(B|A). Значит, формула произведения не является отдельным правилом без доказательства, а следует из самого смысла условной вероятности.

Порядок событий в записи условной вероятности важен. В выражении P(B|A) после вертикальной черты стоит условие A, а слева указано событие, вероятность которого ищут. Поэтому P(B|A) и P(A|B) отвечают на разные вопросы и обычно не совпадают.

Если события независимы, наступление A не меняет вероятность B. Тогда P(B|A)=P(B), и в формуле можно заменить условную вероятность обычной: P(A∩B)=P(A)·P(B). Такая замена допустима только после установления независимости событий.

Для нескольких последовательных событий рассуждение продолжается по той же схеме. Вероятность совместного наступления находят последовательным умножением: вероятность первого события умножают на вероятность второго при первом, затем — на вероятность третьего при первых двух. При выборе без возвращения условия меняются, поэтому следующие множители обычно являются условными.

Формула произведения вероятностей

Сначала определите, какие события должны произойти одновременно, и запишите их пересечение. Затем решите, остаются ли они независимыми или второй множитель нужно считать условно.

В задачах на последовательный выбор проверяйте, возвращается ли выбранный предмет обратно. Если нет, состав набора меняется, поэтому вероятности следующих событий нужно пересчитывать.

Разбор задач

Задача 1

Бросают игральный кубик. Найдём вероятность того, что выпадет чётное число и число больше 3. Обозначим A — выпадение чётного числа, B — выпадение числа больше 3.

1. P(A)=3/6=1/2, поскольку чётными являются 2, 4 и 6.
2. При условии A возможны только результаты 2, 4 и 6, из которых больше 3 два: 4 и 6. Поэтому P(B|A)=2/3.
3. По формуле произведения P(A∩B)=1/2·2/3=1/3.

Ответ: 1/3. Пересечение событий здесь состоит из исходов 4 и 6, поэтому тот же результат можно получить как 2/6.

Задача 2

В коробке 5 красных и 3 синих шара. Два шара вынимают подряд без возвращения. Найдём вероятность того, что оба шара красные.

1. Вероятность первого красного шара равна 5/8.
2. Если первый шар красный, в коробке останутся 4 красных и 3 синих шара, всего 7. Значит, P(второй красный|первый красный)=4/7.
3. Перемножаем условные вероятности: P(оба красные)=5/8·4/7=20/56=5/14.

Ответ: 5/14. События зависимы: после первого извлечения количество красных шаров и общее число шаров изменилось.

Задача 3

Вероятность безотказной работы первого устройства равна 0,9, второго — 0,8. Устройства работают независимо. Требуется найти вероятность безотказной работы обоих устройств.

1. Обозначим A — исправная работа первого устройства, B — исправная работа второго.
2. Независимость означает, что P(B|A)=P(B)=0,8.
3. По формуле для независимых событий P(A∩B)=0,9·0,8=0,72.

Ответ: 0,72, или 72%. Условие независимости позволяет не пересчитывать вероятность работы второго устройства после проверки первого.

Типичные ошибки

Ошибка: заменять P(B|A) на P(B), не проверив независимость. Так делают, потому что внешне оба выражения похожи, но при зависимых событиях условие меняет ситуацию. Проверьте, изменяется ли вероятность B после наступления A.

Ошибка: путать P(B|A) и P(A|B). Причина — вертикальная черта воспринимается как обычный разделитель, хотя она указывает именно на условие. Прочитайте запись словами: слева ищут вероятность, справа указано уже наступившее событие.

Ошибка: применять условную вероятность при P(A)=0. Если событие A невозможно, деление на P(A) выполнить нельзя, поэтому школьное определение P(B|A) не задаёт. Сначала проверьте, что вероятность условия положительна.

Ошибка: считать независимыми события при выборе без возвращения. После извлечения предмета состав набора обычно меняется, и вместе с ним меняются вероятности. Проверьте, возвращается ли предмет перед следующим выбором.

Связь с другими темами

Для изучения формулы нужны понятия вероятности события и пересечения событий, а также определение условной вероятности. Пересечение показывает, что события происходят одновременно, а условная вероятность описывает второй шаг после первого.

Формула особенно полезна в задачах на последовательные испытания, выбор без возвращения и надёжность систем. Она помогает переводить описание нескольких действий в последовательность множителей и не забывать об изменении условий.

Что запомнить

• P(A∩B)=P(A)·P(B|A), если P(A)>0.
• P(B|A) — вероятность B при условии, что A произошло.
• Условная вероятность зависит от порядка условий.
• Для независимых событий P(B|A)=P(B).
• Для независимых событий P(A∩B)=P(A)·P(B).
• При последовательных испытаниях учитывают условия, возникшие на предыдущих шагах.