"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность события, если оно может произойти по нескольким причинам. Эти причины задают гипотезами: они должны исключать друг друга и охватывать все возможные случаи. Формула Байеса решает обратную задачу — по уже наступившему событию помогает оценить, какая причина вероятнее. Главное — правильно выбрать гипотезы, умножить вероятность каждой на условную вероятность события при ней, а затем сложить полученные значения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Гипотеза — событие, которое вместе с другими несовместимыми событиями образует полную группу и описывает возможную причину наступления события. Гипотезы обычно обозначают H₁, H₂, …, Hₙ. Они нужны, чтобы разделить задачу на понятные случаи: например, выбрать одну из урн или определить, на каком станке изготовлено изделие.
Полная группа событий — совокупность попарно несовместимых событий, одно из которых обязательно происходит. Попарная несовместимость означает, что два события из группы не могут случиться одновременно. Такое условие позволяет рассматривать все варианты без пропусков и без двойного учёта.
Формула полной вероятности — способ вычислить вероятность события через его условные вероятности при различных гипотезах. Если гипотезы H₁, …, Hₙ образуют полную группу, то P(A) = Σ P(Hᵢ)·P(A|Hᵢ). Формула нужна, когда вероятность результата зависит от того, какой вариант или причина реализовались.
Формула Байеса — способ найти вероятность гипотезы после того, как стало известно о наступлении связанного с ней события. Для гипотезы Hⱼ она имеет вид P(Hⱼ|A) = P(Hⱼ)·P(A|Hⱼ)/P(A). Она нужна, чтобы оценить причину уже наблюдаемого результата, а не предсказать результат при заранее известной причине.
Если событие может наступить несколькими путями, удобно сначала разделить все варианты на гипотезы. Например, при выборе шара из одной из двух урн результат зависит от того, какую урну выбрали; эта информация задаёт два случая. Разбиение на полную группу помогает не забыть ни одну возможную причину и не учитывать один случай дважды. Поэтому вместо одной сложной задачи получаются несколько простых задач с известными условиями.
Пусть произошло событие A, а H₁, …, Hₙ — полная группа гипотез. Тогда A можно представить как объединение случаев A∩H₁, A∩H₂, …, A∩Hₙ: событие A наступило при первой гипотезе, или при второй, и так далее. Эти случаи несовместимы, поскольку сами гипотезы не могут происходить одновременно. Вероятность объединения несовместимых событий равна сумме их вероятностей, поэтому вероятности частей складываются.
Для каждого случая используем правило умножения: P(A∩Hᵢ) = P(Hᵢ)·P(A|Hᵢ). Здесь P(A|Hᵢ) — вероятность события A, если известно, что верна гипотеза Hᵢ. Складывая вероятности всех несовместимых частей, получаем P(A) = Σ P(Hᵢ)·P(A|Hᵢ). Так возникает формула полной вероятности: вклад каждой причины зависит и от того, насколько она вероятна, и от того, насколько часто при ней происходит A.
Формула Байеса нужна, когда результат A уже наблюдали, а причина неизвестна. Сначала вероятность совместного случая Hⱼ∩A равна P(Hⱼ)·P(A|Hⱼ), а затем эту вероятность делят на P(A), чтобы перейти к условию «известно, что A произошло». Получаем P(Hⱼ|A) = P(Hⱼ)·P(A|Hⱼ)/P(A). Направление рассуждения меняется: не «каков шанс результата при причине», а «каков шанс причины после результата».
Перед вычислениями проверь, что гипотезы попарно несовместимы и вместе охватывают все варианты. Иначе разложение события A на отдельные случаи будет неполным или некоторые исходы посчитаются несколько раз. Для формулы Байеса дополнительно необходимо P(A) > 0, потому что на вероятность наблюдаемого события делят. Если P(A) = 0, условие «A произошло» невозможно в этой модели, и формула неприменима.
| Что рассматривается | Обозначение | Формула или условие | Назначение |
|---|---|---|---|
| Гипотезы | H₁, …, Hₙ | Возможные причины события | Разделить задачу на случаи |
| Полная группа гипотез | H₁, …, Hₙ | Hᵢ попарно несовместимы; одно из них обязательно происходит | Учесть все варианты без пересечений |
| Вероятность события при гипотезе | P(A|Hᵢ) | Условная вероятность A при условии Hᵢ | Описать шанс результата в отдельном случае |
| Формула полной вероятности | P(A) | Σ P(Hᵢ)·P(A|Hᵢ) | Найти вероятность события по всем гипотезам |
| Формула Байеса | P(Hⱼ|A) | P(Hⱼ)·P(A|Hⱼ)/P(A) | Оценить гипотезу после наблюдения A |
| Условие применимости формулы Байеса | P(A) | P(A) > 0; гипотезы образуют полную группу | Убедиться, что знаменатель и разбиение корректны |
Сначала определи событие A и перечисли гипотезы, затем выпиши вероятности P(Hᵢ) и P(A|Hᵢ). Формула полной вероятности даёт общий знаменатель, который нужен для применения формулы Байеса. Следи за направлением условной вероятности: условие после вертикальной черты задаёт то, что уже известно.
Из первой урны, где 3 белых и 2 чёрных шара, или из второй, где 1 белый и 4 чёрных шара, выбирают урну с равными вероятностями, а затем один шар. Нужно найти вероятность белого шара. Выбор первой или второй урны — две несовместимые гипотезы, и одна из них обязательно реализуется.
Ответ: вероятность извлечь белый шар равна 2/5, или 0,4. Результат лежит между условными вероятностями 1/5 и 3/5, что согласуется с тем, что обе урны выбирают одинаково часто. Мы усреднили вероятности белого шара с учётом шансов выбора каждой урны.
Первый станок выпускает 60% изделий и даёт 2% брака, второй выпускает 40% и даёт 5% брака. Требуется найти вероятность того, что бракованное изделие изготовил второй станок. Сначала найдём вероятность самого брака, поскольку это общий знаменатель в формуле Байеса.
Ответ: вероятность равна 0,625, или 62,5%. Хотя второй станок выпускает меньшую долю изделий, у него выше доля брака. Поэтому среди бракованных изделий его продукция встречается чаще, чем можно было бы ожидать только по объёму выпуска.
Доли трёх поставщиков равны 0,5, 0,3 и 0,2, а вероятности дефекта — 0,01, 0,03 и 0,06. Обнаружены два дефектных изделия подряд; требуется оценить вероятность, что они поступили от третьего поставщика. По условию при фиксированном поставщике дефекты независимы, поэтому вероятность двух дефектов равна квадрату вероятности одного.
Ответ: вероятность того, что товар поступил от третьего поставщика, равна 9/13, то есть примерно 69,2%. Его исходная доля составляет лишь 20%, но вероятность дефекта у него выше. Два дефекта подряд поэтому заметно усиливают предположение о третьем поставщике.
Иногда условные вероятности просто складывают, например пишут P(A)=P(A|H₁)+P(A|H₂). Так забывают, что гипотезы могут иметь разные вероятности: редкая причина не должна влиять на итог так же, как частая. Для проверки подставь веса P(Hᵢ) перед условными вероятностями и убедись, что при полной группе их сумма равна 1.
Часто путают P(A|H) и P(H|A), потому что в обеих записях участвуют одни и те же события. Первая вероятность описывает шанс результата при заданной причине, вторая — шанс причины после наблюдения результата. Прочитай запись словами: событие после черты уже известно; если направление рассуждения обратное, используй формулу Байеса.
Нельзя применять формулу, если гипотезы пересекаются или не охватывают все случаи. В первом случае некоторые результаты будут посчитаны дважды, во втором часть вероятности потеряется. Проверь, могут ли две гипотезы произойти одновременно и обязательно ли реализуется одна из перечисленных; при необходимости добавь недостающий случай.
В формуле Байеса иногда забывают знаменатель P(A) или принимают его за единицу. Тогда получается не условная вероятность после наблюдения, а лишь вероятность совместного случая H∩A. Найди P(A) по формуле полной вероятности и проверь, что оно положительно; итоговая вероятность гипотезы не должна превышать 1.
Для работы с формулами нужно знать условную вероятность, правило умножения вероятностей и свойство сложения вероятностей несовместимых событий. Понятие полной группы позволяет разбить событие на случаи, а формула полной вероятности объединяет их вклады. Эти методы применяются в статистике, медицинской диагностике и теории надёжности, а также при анализе результатов испытаний и принятии решений.
Чем формула полной вероятности отличается от формулы Байеса?
Формула полной вероятности находит вероятность события A, учитывая все гипотезы: P(A) = Σ P(Hᵢ)·P(A|Hᵢ). Формула Байеса использует эту вероятность, чтобы после наступления A определить вероятность конкретной гипотезы Hᵢ.
Как понять, какие события выбрать в качестве гипотез?
Выбирай события, описывающие возможные причины или варианты развития ситуации. Они должны быть попарно несовместимыми и вместе охватывать все случаи: при каждом испытании происходит ровно одна из гипотез.
Почему в формуле полной вероятности вероятности складываются?
Событие A раскладывается на части A и Hᵢ, где каждая часть соответствует отдельной гипотезе. Эти части несовместимы, поэтому вероятность их объединения равна сумме вероятностей частей.
Как не перепутать P(A|H) и P(H|A)?
P(A|H) означает вероятность события A при условии, что гипотеза H уже верна. P(H|A) — вероятность гипотезы H после того, как событие A произошло; её находят по формуле Байеса.
Можно ли применить формулу Байеса, если гипотезы не образуют полную группу?
В приведённом виде формулу применять нельзя: знаменатель должен учитывать все возможные причины события, а гипотезы должны образовывать полную группу. Сначала дополни список гипотез или иначе опиши все случаи, затем проверь, что вероятность события в знаменателе положительна.
§ 3. Формула полной вероятности и формула Байеса
