§ 1. Периодические функции

Определения и обозначения

Периодическая функция — функция, для которой существует ненулевое число T такое, что f(x + T) = f(x) для всех x из области определения, при которых рассматриваемые аргументы допустимы. Это означает, что при сдвиге аргумента на одну и ту же величину значения функции повторяются. Определение помогает проверить периодичность не по отдельным точкам, а сразу для всех значений x.

Период функции — ненулевое число T, при прибавлении которого к аргументу значение функции не изменяется. В равенстве f(x + T) = f(x) число T задаёт расстояние по оси x, через которое повторяются значения. Периодом может быть как положительное, так и отрицательное число, поэтому само по себе слово «период» не означает «наименьший».

Наименьший положительный период — наименьшее из положительных чисел, являющихся периодами функции. Он показывает самый короткий интервал, после которого повторяется поведение функции. Это понятие нужно, чтобы отличать основной масштаб повторения от его более длинных кратных.

Основной период тригонометрической функции — её наименьший положительный период, если такой период существует. Например, у синуса основной период равен 2π, а у тангенса — π. Основной период удобен при построении графика: достаточно понять его поведение на одном таком промежутке и затем повторить рисунок.

Как это устроено

Равенство f(x + T) = f(x) связывает значения функции в точках, отстоящих друг от друга на T. Если перенести график на T единиц вдоль оси x, каждая его точка совпадёт с точкой исходного графика. Поэтому один и тот же рисунок повторяется через равные интервалы, а изучать всю бесконечную кривую можно по одному повторяющемуся фрагменту.

Если T — период, то f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x). Тот же ход можно повторять и для любого целого числа шагов, в том числе в обратную сторону, поэтому nT — период при любом ненулевом целом n. Так, если период равен 2π, то 4π и −2π тоже периоды, хотя они не обязательно являются наименьшими положительными.

У синуса и косинуса значения повторяются после полного оборота точки на единичной окружности, то есть при изменении угла на 2π: sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x. У тангенса и котангенса повторение наступает уже после π, потому что при повороте на пол-оборота числитель и знаменатель соответствующих отношений меняют знак одновременно. Поэтому tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x, а их наименьший положительный период — π.

Пусть исходная функция f имеет период T₀, а рассматривается y = f(kx). Чтобы аргумент внутри f увеличился на T₀, x должен увеличиться на T₀/|k|: тогда kx изменится на T₀ или на −T₀. Поэтому период сжимается в |k| раз при |k| > 1 и растягивается при 0 < |k| < 1. В выражении f(kx + b) сдвиг b не влияет на длину повторения, поэтому период при k ≠ 0 равен T₀/|k|.

Факт наличия периода не сообщает, что найденное число — наименьшее положительное. Например, у синуса периодами являются 2π, 4π и 6π, но основной период равен 2π. Чтобы утверждать, что период наименьший, нужно исключить возможность меньшего положительного сдвига, сохраняющего значения функции. Поэтому формулы периодов обычно дают основной период, а его кратные дают другие периоды.

Периоды основных тригонометрических функций

В таблице k обозначает любое целое число, а интервалы знакопостоянства записаны для всех повторяющихся участков. В точках разрыва тангенс и котангенс не определены; вертикальные асимптоты — прямые x, к которым график неограниченно приближается. Сопоставляй строки по столбцу нужной функции: так можно одновременно проверить её нули, знак и допустимые значения аргумента.

Разбор задач

Задача 1. Докажите, что 4π является периодом функции y = sin x, и определите её наименьший положительный период. Здесь нужно отдельно установить два факта: что заданный сдвиг сохраняет синус и что существует более короткий положительный период. Используем известную формулу повторения синуса и не будем путать период с основным периодом.

1. Для любого x верно sin(x + 2π) = sin x. Подставляя вместо x выражение x + 2π, получаем sin(x + 4π) = sin(x + 2π).
2. По той же формуле sin(x + 2π) = sin x, поэтому sin(x + 4π) = sin x. Значит, 4π удовлетворяет определению периода.
3. Синус повторяется уже при сдвиге на 2π, а положительного периода меньше 2π у него нет. Следовательно, 4π не наименьший период, а основной период равен 2π.

Ответ: 4π — период функции y = sin x; её наименьший положительный период равен 2π. Задача 2. Найдите период функции y = cos(3x − π/2). Сначала замечаем, что сдвиг аргумента на постоянное число не меняет длину повторения; коэффициент 3 сжимает её втрое.

1. Для функции cos u наименьший положительный период T₀ = 2π.
2. Аргумент можно записать как 3x − π/2 = 3(x − π/6): постоянная часть задаёт сдвиг, а коэффициент при x равен 3.
3. Применяем правило для cos(kx + b): T = T₀/|k| = 2π/3. При сдвиге x на 2π/3 аргумент косинуса увеличивается на 2π, поэтому значение повторяется.

Ответ: наименьший положительный период равен 2π/3. Задача 3. Найдите все a, при которых y = sin(ax) имеет период π. Здесь π требуется быть периодом, но не обязательно наименьшим, поэтому нужно сравнить его со всеми кратными основного периода.

1. При a ≠ 0 основной период функции sin(ax) равен T₀ = 2π/|a|.
2. Число π является периодом тогда и только тогда, когда оно равно положительному целому кратному основного периода: π = nT₀, где n — положительное целое число.
3. Подставляем формулу периода: π = n · 2π/|a|, откуда |a| = 2n. Значит, a может быть любым ненулевым чётным целым числом.

Ответ: a = 2n или a = −2n, где n — положительное целое число. При a = 0 получается постоянная функция sin 0 = 0, и у неё любое ненулевое число, в том числе π, является периодом. Поэтому с учётом этого отдельного случая: a ∈ {0} ∪ {±2, ±4, ±6, …}.

Типичные ошибки

Ошибка: считать периодом только наименьшее положительное число и отвергать его кратные. Её допускают, когда смешивают понятия «период» и «основной период». Проверь себя: подставь кратное nT в равенство и используй f(x + T) = f(x) несколько раз — кратное тоже сохраняет значения.

Ошибка: приписывать тангенсу период 2π по аналогии с синусом. При таком рассуждении не учитывают, что tg(x + π) = tg x, потому что синус и косинус одновременно меняют знак. Для проверки достаточно сравнить π и 2π: меньший положительный сдвиг π уже подходит.

Ошибка: забывать модуль коэффициента при x и получать отрицательный период или неверное число. Это происходит, если механически делить T₀ на k, не учитывая, что период берут положительным, а знак k задаёт направление изменения аргумента. Подставь найденное положительное число в аргумент: его изменение должно составить период исходной функции по модулю.

Ошибка: принимать за период длину области определения или расстояние между соседними нулями. Эти величины сами по себе не гарантируют повторения всех значений функции. Проверь себя по определению: должно выполняться f(x + T) = f(x) для всех допустимых x, а не только в нулях или на концах выбранного промежутка.

Связь с другими темами

Чтобы изучать периодичность, нужно уметь работать с функциями, находить область определения и читать графики. Формулы приведения тригонометрических функций помогают устанавливать их повторение и преобразовывать аргументы. Понятие периода пригодится при исследовании и построении графиков sin x, cos x, tg x, ctg x и функций вида f(kx + b).

Периодические зависимости описывают колебания и волны: один и тот же этап движения повторяется через равные промежутки времени или пространства. Гармонические процессы часто выражают через синус и косинус, а их математическое описание связано с дифференциальными уравнениями. Поэтому понятие периода соединяет школьную работу с графиками с моделями явлений в физике и математике.

Что запомнить

• Функция периодична, если существует ненулевое T: f(x + T) = f(x).
• Если T — период, то любое его ненулевое целое кратное тоже является периодом.
• Наименьший положительный период задаёт самый короткий повторяющийся фрагмент графика.
• Периоды синуса и косинуса равны 2π.
• Периоды тангенса и котангенса равны π.
• В функции y = f(kx + b) при k ≠ 0 сдвиг b период не изменяет, а коэффициент k делит его на |k|.