§ 2. Функции с основным периодом

Определения и обозначения

Период функции — ненулевое число T, при котором f(x + T) = f(x) для всех x из области определения, если сдвинутый аргумент также допустим. Это означает, что перенос аргумента на T не меняет значение функции. Понятие нужно, чтобы описывать расстояние, через которое поведение функции повторяется.

Периодическая функция — функция, у которой существует хотя бы один период. Например, синус принимает те же значения через каждые 2π, поэтому он периодичен. Такое свойство позволяет изучать не весь график, а один повторяющийся фрагмент.

Основной период — наименьший положительный период функции, если такой период существует. У одной функции может быть много периодов, но основным называют только самый маленький положительный. Именно его обычно указывают в ответе, когда спрашивают период функции.

Как это устроено

Если f(x + T) = f(x), то каждому значению функции в точке x соответствует такое же значение в точке x + T. Повторяя этот сдвиг, получаем f(x + 2T), f(x + 3T) и так далее. Поэтому график состоит из одинаковых фрагментов, сдвинутых вдоль оси x на расстояние T; достаточно построить один фрагмент и повторить его.

Период не обязан быть единственным: если T сохраняет значения, то сдвиг на −T возвращает их в обратную сторону. Сдвиг на 2T, 3T и любое nT тоже сохраняет значения, где n — ненулевое целое число. Положительные и отрицательные кратные описывают одну и ту же повторяемость, но основным считают наименьшее положительное число.

У синуса и косинуса аргумент повторяется через 2π: sin(u + 2π) = sin u и cos(u + 2π) = cos u. В функции sin(kx) или cos(kx) нужно увеличить сам аргумент kx на 2π, поэтому kT = 2π или по длине T = 2π/|k|. Модуль нужен потому, что знак k задаёт направление изменения аргумента, а длина периода должна быть положительной.

Тангенс и котангенс повторяются через π: tg(u + π) = tg u и ctg(u + π) = ctg u. Поэтому для tg(kx) и ctg(kx) условие повторения имеет вид |k|T = π, откуда основной период равен π/|k|. Для суммы периодических функций сначала ищут число, которое является общим периодом всех слагаемых, а затем проверяют меньшие положительные значения: из общего периода не всегда следует, что он основной.

Основные периоды тригонометрических функций

В таблице собраны все периоды и основные периоды базовых тригонометрических функций. В столбце «Период» указаны все ненулевые целые кратные основного периода. Для функций с коэффициентом k достаточно подставить его модуль в соответствующую формулу.

Разбор задач

Задача 1. Найдите основной период функции y = sin(3x).

Здесь аргумент синуса имеет вид kx, где k = 3. У синуса основной период по аргументу равен 2π, поэтому нужно найти такой положительный T, чтобы 3T = 2π. Используем формулу 2π/|k|.

1. Определяем коэффициент: k = 3.
2. Подставляем его в формулу: T = 2π/|3|.
3. Получаем T = 2π/3; это положительное значение и основной период.

Ответ: 2π/3.

Задача 2. Найдите основной период функции y = tg(2x).

Для тангенса не нужно использовать 2π, потому что он повторяется через π. Аргумент 2x должен увеличиться на π, значит, при сдвиге x на T выполняется 2T = π. Коэффициент положительный, но по общей формуле всё равно используем его модуль.

1. Определяем k = 2.
2. Берём формулу для тангенса: T = π/|k|.
3. Вычисляем T = π/2.

Ответ: π/2.

Задача 3. Найдите основной период функции y = cos x + cos 2x.

Сумма повторится, если одновременно повторятся оба слагаемых. У cos x основной период 2π, а у cos 2x основной период π, поэтому 2π является общим периодом. После этого нужно проверить, не даёт ли сама сумма меньший период.

1. Для первого слагаемого берём период 2π, для второго — π.
2. Наименьший общий положительный период этих слагаемых равен 2π.
3. Проверяем возможный меньший период π: cos(x + π) + cos(2x + 2π) = −cos x + cos 2x, что вообще не равно cos x + cos 2x.
4. Следовательно, π не является периодом суммы, и найденный общий период остаётся основным.

Ответ: 2π.

Типичные ошибки

Любой период называют основным. Это происходит, когда проверяют только равенство значений и забывают о слове «наименьший». Чтобы проверить себя, найдите все очевидные положительные варианты и выберите самый маленький.

Для tg x и ctg x указывают 2π. Такую ошибку допускают по аналогии с синусом и косинусом. Проверьте, повторяется ли функция уже при прибавлении π: для тангенса и котангенса ответ будет положительным.

Забывают разделить период на |k|. Коэффициент при x ускоряет изменение аргумента, поэтому период по x уменьшается. После записи формулы подставьте модуль коэффициента и убедитесь, что полученный период положителен.

Общий период слагаемых автоматически считают основным периодом суммы. Слагаемые могут повторяться вместе через найденное число, но сумма иногда повторяется раньше. Подставьте меньший кандидат в выражение и сравните результат с исходной функцией.

Связь с другими темами

До изучения периодов нужны определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также их свойства и графики. По графику удобно увидеть, какой фрагмент функции повторяется и где расположены промежутки недопустимых значений. Особенно это полезно для тангенса и котангенса, у которых есть вертикальные асимптоты.

Период используется при исследовании функций и построении графиков: достаточно изучить один период, а затем повторить его переносами. В тригонометрических уравнениях период помогает записывать все решения через целое число k. Поэтому формулы периодов связывают свойства функций с практическими способами решения задач.

Что запомнить

• Период T сохраняет значения функции при сдвиге аргумента на T.
• Основной период — наименьший положительный период.
• Основные периоды sin x и cos x равны 2π.
• Основные периоды tg x и ctg x равны π.
• При замене x на kx основной период уменьшается в |k| раз.
• У суммы периодических функций общий период может существовать, но не обязательно совпадает с основным периодом суммы.