§ 1. Тригонометрическая форма комплексного числа

Определения и обозначения

Для комплексного числа z = a + bi модулем называют число |z| = √(a² + b²). На комплексной плоскости это расстояние от начала координат до точки, соответствующей z. Модуль показывает, насколько далеко число расположено от нуля, независимо от направления. Он понадобится как длина радиус-вектора при записи числа через угол.

Аргумент ненулевого комплексного числа — угол φ между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки z. Поворот на полный оборот не меняет конечное направление, поэтому аргументами одного числа являются φ + 2πk, где k ∈ Z. Аргумент помогает описать направление числа на плоскости. Для выбора конкретного угла учитывают положение точки и договорённый промежуток значений.

Тригонометрической формой ненулевого числа называют запись z = r(cos φ + i sin φ), где r = |z| > 0, а φ — аргумент z. Множитель r задаёт длину радиус-вектора, а косинус и синус определяют его направление. Такая запись связывает комплексное число с полярными координатами точки. Она особенно полезна в действиях с комплексными числами.

Главное значение аргумента — одно выбранное значение из всех аргументов числа, лежащее в заранее заданном промежутке. Например, можно договориться выбирать угол из промежутка [0; 2π). Это правило позволяет однозначно указать одного представителя, хотя остальные аргументы никуда не исчезают. При записи ответа важно обозначить, требуется ли главное значение или все аргументы.

Как это устроено

Числу z = a + bi соответствует точка с координатами (a, b): действительная часть задаёт положение по горизонтали, а коэффициент при i — по вертикали. Расстояние этой точки от начала координат находится по теореме Пифагора, потому что координатные оси перпендикулярны. Катеты прямоугольного треугольника имеют длины |a| и |b|, а гипотенуза — длину радиус-вектора. Поэтому модуль равен √(a² + b²), а не сумме координат.

Пусть радиус-вектор имеет длину r и образует с положительным направлением действительной оси угол φ. Проекции этого вектора на горизонтальную и вертикальную оси равны r cos φ и r sin φ соответственно. Эти проекции и есть координаты точки, поэтому a = r cos φ и b = r sin φ. Знаки синуса и косинуса при этом автоматически отражают четверть, в которой находится точка.

В алгебраической записи z = a + bi заменим координаты равными им выражениями r cos φ и r sin φ. Тогда z = r cos φ + i r sin φ, а вынесение общего множителя r даёт z = r(cos φ + i sin φ). Именно так возникает тригонометрическая форма, а не как отдельное правило без связи с геометрией. Для ненулевого числа r положителен, поскольку расстояние до начала координат не равно нулю.

Угол задаёт направление радиус-вектора, и поворот на 2π возвращает его в то же положение. Поэтому φ, φ + 2π и φ − 2π описывают один аргумент в разных записях; полный набор записывают как φ + 2πk, k ∈ Z. Для нуля длина радиус-вектора равна нулю, и он не указывает никакого направления. Формально можно подставить r = 0 при любом угле, но это не делает угол аргументом нуля.

Переход между алгебраической и тригонометрической формами

Начинайте переход от алгебраической формы с вычисления модуля, затем определите четверть по знакам координат и подберите аргумент. Перед записью формы проверьте, что r cos φ = a и r sin φ = b. Если требуются все аргументы, к выбранному углу добавьте 2πk.

Разбор задач

Задача 1

Запишите число z = 1 + i в тригонометрической форме. Сначала найдём длину радиус-вектора, затем выберем угол, соответствующий координатам точки. Обе координаты положительны, значит, точка находится в первой четверти.

1. Здесь a = 1 и b = 1, поэтому r = √(1² + 1²) = √2.
2. Для угла φ имеем cos φ = a/r = 1/√2 и sin φ = b/r = 1/√2. В первой четверти этим значениям соответствует φ = π/4.
3. Подставим найденные r и φ в общую запись: z = √2(cos φ + i sin φ).

Ответ: z = √2(cos π/4 + i sin π/4). Проверка: √2 cos π/4 = 1 и √2 sin π/4 = 1, значит, исходные координаты восстановлены. Если нужны все аргументы, к π/4 прибавляют 2πk.

Задача 2

Запишите z = −√3 + i в тригонометрической форме, указав аргумент из [0; 2π). По координатам сначала находим модуль, а затем определяем положение точки. Отрицательная действительная и положительная мнимая части означают, что точка расположена во второй четверти.

1. Модуль равен r = √((−√3)² + 1²) = √4 = 2.
2. Так как cos φ = −√3/2, а sin φ = 1/2, опорный угол равен π/6. Во второй четверти угол из заданного промежутка равен φ = π − π/6 = 5π/6.
3. Подставляем значения: z = 2(cos 5π/6 + i sin 5π/6).

Ответ: z = 2(cos 5π/6 + i sin 5π/6). Проверка даёт действительную часть 2 · (−√3/2) = −√3 и мнимую часть 2 · 1/2 = 1. Значит, получено исходное число.

Задача 3

Найдите все аргументы числа z = −1 − i и запишите его тригонометрическую форму. Знаки обеих координат отрицательны, поэтому точка находится в третьей четверти. Сначала найдём аргумент в этом положении, а затем запишем полный набор углов.

1. Модуль равен r = √((−1)² + (−1)²) = √2.
2. Опорный угол равен π/4, так как модули координат одинаковы. Угол в третьей четверти можно взять равным φ = 5π/4.
3. Все аргументы имеют вид 5π/4 + 2πk, где k ∈ Z. Для тригонометрической формы подставим один из них: z = √2(cos 5π/4 + i sin 5π/4).

Ответ: аргументы — 5π/4 + 2πk, k ∈ Z; тригонометрическая форма — √2(cos 5π/4 + i sin 5π/4). Если выбрать отрицательное значение угла −3π/4, получится та же форма числа. Это верно, потому что 5π/4 и −3π/4 отличаются на 2π.

Типичные ошибки

Ошибка: находить модуль как a + b или √(a² − b²). Она возникает, когда формулу забывают и пытаются сложить координаты напрямую. Используйте теорему Пифагора: квадрат расстояния равен сумме квадратов координат. Проверьте результат: модуль неотрицателен и не меньше абсолютной величины каждой координаты.

Ошибка: выбирать аргумент только по тангенсу, не проверяя четверть. Тангенс может соответствовать углам, отличающимся на π, поэтому по нему нельзя отличить, например, первую четверть от третьей. Сверьте знаки cos φ и sin φ со знаками a и b. После выбора угла проверьте равенства a = r cos φ и b = r sin φ.

Ошибка: считать, что у числа только один аргумент. Часто за аргумент принимают найденное главное значение и забывают о полных оборотах. К любому найденному φ можно прибавить 2πk, где k — любое целое число. Если в задаче спрашивают все аргументы, запишите именно это общее выражение.

Ошибка: приписывать нулю определённый аргумент. Ноль может быть записан как 0(cos φ + i sin φ) при любом угле, но это не задаёт единственного направления. У радиус-вектора нулевой длины направление не определено. Поэтому аргумент нуля не указывают, а тригонометрическую форму с r > 0 применяют к ненулевым числам.

Связь с другими темами

Для работы нужны алгебраическая запись комплексного числа z = a + bi и понимание, что a — действительная, а b — мнимая часть. Также используется формула модуля, связывающая эти части с расстоянием от начала координат. Если эти понятия знакомы, переход к новой форме сводится к нахождению длины и направления.

Геометрическая основа темы — координаты точки на плоскости и полярные координаты, в которых точку задают расстоянием и углом. Для связи координат с углом нужны определения синуса и косинуса. Тригонометрическая форма станет основой для умножения, деления и возведения комплексных чисел в степень: в ней удобно работать отдельно с модулями и аргументами.

Что запомнить

• Для z = a + bi модуль равен √(a² + b²).
• В тригонометрической форме z = r(cos φ + i sin φ), где r = |z|.
• Координаты числа связаны с модулем и аргументом равенствами a = r cos φ, b = r sin φ.
• Аргументы ненулевого числа отличаются на 2πk, где k — целое число.
• При выборе аргумента нужно учитывать четверть, в которой расположена точка.
• У нуля аргумент не определён.