"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Тригонометрическая форма помогает выполнять умножение и деление комплексных чисел, заменяя сложные вычисления в алгебраической форме действиями с модулями и углами. При умножении модули перемножают, а аргументы складывают; при делении модули делят, а из аргумента делимого вычитают аргумент делителя. Эти правила опираются на формулы сложения синуса и косинуса и имеют простой геометрический смысл: умножение поворачивает радиус-вектор и меняет его длину.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тригонометрическая форма комплексного числа — запись z = r(cos φ + i sin φ), где r — модуль числа, а φ — его аргумент. Модуль показывает расстояние от начала координат до точки z на комплексной плоскости, а аргумент задаёт направление. Такая запись удобна для умножения и деления: отдельно видны длина и поворот радиус-вектора.
Аргумент комплексного числа — угол φ, задающий направление радиус-вектора числа на комплексной плоскости. Один и тот же аргумент можно записать как φ + 2πk, где k — целое число: полный оборот не меняет направление. Поэтому при вычислениях важно помнить, что у числа не один возможный аргумент, а целое семейство равноправных углов.
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме — операция, при которой модули перемножаются, а аргументы складываются. Например, если множители имеют модули r₁ и r₂, их произведение имеет модуль r₁r₂. Это правило позволяет выполнять умножение без раскрытия скобок и упрощает нахождение результата.
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме — операция для ненулевого делителя, при которой модули делятся, а из аргумента делимого вычитается аргумент делителя. Для записи z₁/z₂ необходимо, чтобы z₂ ≠ 0. Правило позволяет сразу определить и длину, и направление частного.
Пусть z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁), а z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂). При перемножении скобок действительная часть выражается через cos φ₁ cos φ₂ − sin φ₁ sin φ₂, а коэффициент при i — через sin φ₁ cos φ₂ + cos φ₁ sin φ₂. По формулам сложения это соответственно cos(φ₁ + φ₂) и sin(φ₁ + φ₂), поэтому общий множитель r₁r₂ оказывается модулем, а сумма углов — аргументом произведения.
У этого правила есть геометрическое объяснение. Умножение на число с модулем r₂ увеличивает или уменьшает длину радиус-вектора в r₂ раз, а умножение на число с аргументом φ₂ поворачивает его на φ₂. Поэтому при умножении на z₂ модуль z₁ меняется в r₂ раз, а направление поворачивается на φ₂; итоговый угол равен φ₁ + φ₂. Так геометрический смысл совпадает с вычислением по формулам.
Чтобы получить деление, можно умножить делимое на обратное число к делителю. Если z₂ имеет модуль r₂ и аргумент φ₂, то обратное к нему число имеет модуль 1/r₂ и аргумент −φ₂: произведение этих чисел должно иметь модуль 1 и аргумент 0. Умножение на обратное делит модуль на r₂ и поворачивает радиус-вектор на −φ₂. Именно поэтому из аргумента делимого вычитается аргумент делителя.
В результате для частного z₁/z₂ модуль равен r₁/r₂, а аргумент — φ₁ − φ₂. Порядок вычитания связан с тем, что сначала учитывается направление делимого, а затем обратный поворот, противоположный направлению делителя. Если поменять порядок, получится другое направление и, как правило, другое комплексное число.
После вычисления аргумента можно прибавить к нему 2πk или вычесть 2πk, не меняя результата. Это позволяет выбрать угол, с которым удобнее работать, например привести его к промежутку от 0 до 2π. Делитель обязательно должен быть ненулевым: нулю нельзя сопоставить направление, а обратного числа к нему не существует.
| Операция | Условие | Формула для модуля | Формула для аргумента | Итоговая запись |
|---|---|---|---|---|
| Умножение z₁z₂ | Два комплексных числа в тригонометрической форме | r₁r₂ | φ₁ + φ₂ | r₁r₂(cos(φ₁ + φ₂) + i sin(φ₁ + φ₂)) |
| Деление z₁/z₂ | z₂ ≠ 0 | r₁/r₂ | φ₁ − φ₂ | (r₁/r₂)(cos(φ₁ − φ₂) + i sin(φ₁ − φ₂)) |
Сначала определи, выполняется умножение или деление, и проверь условие для делителя. Затем отдельно вычисли модуль результата и его аргумент, после чего подставь их в итоговую запись. Если требуется алгебраическая форма, раскрой скобки и найди значения синуса и косинуса полученного угла.
Вычислить 2(cos(π/6) + i sin(π/6)) · 3(cos(π/3) + i sin(π/3)). У каждого множителя уже указаны модуль и аргумент, поэтому раскрывать скобки не нужно. Сначала применим правило к модулю и углу, а затем, чтобы получить алгебраическую форму, подставим значения тригонометрических функций.
Ответ: 6i. Проверка по смыслу: модуль произведения равен 6, а аргумент π/2 направляет радиус-вектор вверх по мнимой оси. Полученное число действительно имеет такой модуль и направление.
Вычислить отношение 6(cos(π/2) + i sin(π/2)) к 2(cos(π/6) + i sin(π/6)). Делитель ненулевой, так как его модуль равен 2. Для частного разделим модули, а из аргумента первого числа вычтем аргумент второго.
Ответ: 3/2 + 3√3/2 i. При проверке следи, что угол равен разности «аргумент делимого минус аргумент делителя». Его значение π/3 соответствует итоговой тригонометрической форме.
Упростить z = [4(cos(5π/6) + i sin(5π/6)) · 3(cos(π/4) + i sin(π/4))] / [2(cos(π/6) + i sin(π/6))] и записать результат в алгебраической форме. Удобнее сначала вычислить произведение в числителе, а затем поделить его на знаменатель. Так модули и аргументы можно обрабатывать независимо друг от друга.
Ответ: z = −3(√6 + √2)/2 + 3(√6 − √2)/2 i. Отрицательная действительная часть согласуется с углом 11π/12, лежащим во второй четверти. Это помогает заметить возможную ошибку со знаком при переходе к алгебраической форме.
Первая ошибка — складывать или вычитать модули вместо аргументов. Её допускают, когда переносят на модуль привычное действие с углами, не разделяя две части записи. При умножении модули должны дать произведение r₁r₂, а при делении — отношение r₁/r₂. Проверь отдельно: модуль результата определяется длинами, а аргумент — углами.
Вторая ошибка — перемножать или делить аргументы. Возможно, кажется, что для одной операции и модули, и углы должны обрабатываться одинаково. Но повороты при умножении складываются, а при делении вычитаются; формулы сложения синуса и косинуса подтверждают именно это. Для самопроверки выпиши рядом две формулы: φ₁ + φ₂ и φ₁ − φ₂.
Третья ошибка — забыть условие z₂ ≠ 0 или пытаться разделить на число с нулевым модулем. Нулевой модуль означает, что делитель равен нулю, а обратного числа к нулю нет. До применения формулы найди или проверь модуль делителя. Если он равен нулю, частное не существует.
Четвёртая ошибка — считать углы φ и φ + 2πk разными аргументами одного результата. Это происходит, если забыть, что угол задаёт направление, а полный оборот приводит радиус-вектор туда же. Для проверки сравни углы: их разность должна быть целым числом, умноженным на 2π. Поэтому полученный аргумент можно оставить или заменить на удобный равносильный.
Для работы с тригонометрической формой нужно знать модуль и аргумент комплексного числа, а также уметь записывать число как z = r(cos φ + i sin φ). Вывод правила умножения использует формулы сложения синуса и косинуса. Без этих представлений не получится уверенно перейти от записи результата к его геометрическому смыслу.
Правила умножения и деления подготавливают к возведению комплексных чисел в степень и извлечению корней в тригонометрической форме. В этих действиях также отдельно преобразуются модули и аргументы. Знание сложения и вычитания аргументов помогает понять более общие закономерности.
Умножение и деление можно применять для геометрического представления комплексных чисел и решения уравнений с комплексными коэффициентами. Геометрическая трактовка показывает, как меняются длина и направление радиус-вектора. Это позволяет связывать вычисления с расположением чисел на комплексной плоскости.
Почему при умножении аргументы складываются, а не перемножаются?
Аргумент задаёт угол поворота радиус-вектора, а при умножении повороты складываются. Это следует и из формул сложения синуса и косинуса, применённых к тригонометрической форме.
Можно ли выбрать для аргумента угол, отличный от главного?
Да. К аргументу можно прибавить или вычесть 2πk, где k — целое число: направление числа при этом не изменится. Главный аргумент — лишь один выбранный представитель всех таких углов.
Почему при делении нужно вычитать аргументы именно в таком порядке?
Частное получается умножением делимого на обратное делителю. Аргумент обратного числа противоположен аргументу делителя, поэтому к аргументу делимого прибавляется −φ₂, то есть получается φ₁ − φ₂.
Что делать, если после вычисления аргумент получился больше 2π или отрицательным?
Можно оставить полученный угол или прибавить либо вычесть 2πk, чтобы записать его в более удобном диапазоне. Все углы, отличающиеся на целое число полных оборотов, задают один аргумент.
Можно ли применять формулу деления, если модуль делителя равен нулю?
Нет. Нулевой модуль означает, что делитель равен нулю, а деление на ноль не определено. Формула деления применима только при r₂ ≠ 0.
§ 2. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме
