"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Корнем n-й степени из комплексного числа z называется число w, для которого wⁿ = z. В отличие от арифметического корня, комплексное число обычно имеет несколько корней: у ненулевого z их ровно n. Тригонометрическая форма позволяет найти их по модулю и аргументу: модуль корня равен √[n]{r}, а аргументы получают делением φ + 2πk на n. На плоскости корни образуют правильный многоугольник.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень n-й степени из комплексного числа z — число w, для которого wⁿ = z. В отличие от арифметического корня, который обычно обозначает единственное неотрицательное число, комплексное уравнение может иметь несколько решений. Это определение превращает извлечение корня в задачу решения уравнения.
Тригонометрическая форма — запись z = r(cos φ + i sin φ), где r = |z| — модуль, а φ — аргумент числа, то есть угол поворота от положительного направления действительной оси. Такая форма удобна для умножения, возведения в степень и извлечения корней. Один и тот же аргумент можно записать как φ + 2πk.
Формула извлечения корней выражает все числа w, удовлетворяющие wⁿ = z, через корень √[n]{r} из модуля и углы (φ + 2πk)/n. Она позволяет находить решения последовательно и не пропускать корни. Для ненулевого z достаточно взять k = 0, 1, ..., n − 1.
Корни из единицы — комплексные числа u, для которых uⁿ = 1. Они равномерно расположены на единичной окружности и служат множителями, переводящими один корень ненулевого числа в остальные. Поэтому изучение корней из единицы помогает понять общую картину корней.
Пусть w = ρ(cos θ + i sin θ), а z = r(cos φ + i sin φ). По формуле Муавра wⁿ = ρⁿ(cos nθ + i sin nθ): при возведении в степень модуль становится ρⁿ, а аргумент умножается на n. Чтобы получить z, нужно потребовать ρⁿ = r и nθ = φ с точностью до полного оборота.
Равенство аргументов нельзя понимать только как nθ = φ. Угол φ + 2πk задаёт ту же точку, что и φ, потому что поворот на 2π возвращает направление. Поэтому nθ = φ + 2πk, откуда θ = (φ + 2πk)/n; именно так появляется семейство возможных аргументов корней.
Из условия ρⁿ = r следует ρ = √[n]{r}, поскольку модуль неотрицателен. Значит, при z ≠ 0 все корни имеют один и тот же модуль и отличаются только направлением. Формула wₖ = √[n]{r}(cos((φ + 2πk)/n) + i sin((φ + 2πk)/n)) сразу объединяет оба результата.
Если заменить k на k + n, угол увеличится на 2π, поэтому получится прежнее число. Значения k = 0, 1, ..., n − 1 дают n разных направлений, поскольку соседние углы отличаются на 2π/n. Геометрически корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса √[n]{r}.
Для z = 0 запись через аргумент неприменима: у нуля нет определённого направления. Но из |w|ⁿ = |wⁿ| = 0 следует |w| = 0, а значит, w = 0. Поэтому ноль имеет единственный корень любой степени.
Таблица показывает, какую часть формулы использовать на каждом этапе.
| Случай или характеристика | Формула | Что следует |
|---|---|---|
| Тригонометрическая форма исходного числа | z = r(cos φ + i sin φ) | r — модуль, φ — один из аргументов |
| Модуль корня | |w| = √[n]{r} | Все корни имеют одинаковый модуль |
| Аргументы корней | arg wₖ = (φ + 2πk)/n | k учитывает многозначность аргумента |
| Все корни ненулевого числа | wₖ = √[n]{r}(cos((φ + 2πk)/n) + i sin((φ + 2πk)/n)), k = 0, 1, ..., n − 1 | Получается ровно n различных корней |
| Расстояние между соседними корнями | 2π/n | Корни равномерно расположены на окружности |
| Корень из нуля | w = 0 | Единственный корень |
Сначала найдите модуль и один аргумент исходного числа, затем вычислите общий модуль корней и их углы. После этого подставьте k = 0, 1, ..., n − 1. Последняя строка напоминает, что формулу для ненулевого числа нельзя механически применять к z = 0.
Задача 1. Найти все квадратные корни числа z = 4(cos(π/3) + i sin(π/3)). Здесь уже дана тригонометрическая форма, поэтому остаётся применить формулу при n = 2. Нужно получить два значения, соответствующие двум направлениям на окружности.
Ответ: w₀ = √3 + i, w₁ = −√3 − i. Второй корень противоположен первому, что характерно для квадратных корней ненулевого комплексного числа.
Задача 2. Найти все кубические корни числа z = −8. Отрицательное действительное число имеет модуль 8 и аргументы π + 2πk, поэтому удобно взять φ = π. Деление углов на 3 даст три разных направления.
Ответ: 1 + i√3, −2, 1 − i√3. Возведение каждого результата в куб возвращает −8, а точки расположены через угол 2π/3.
Задача 3. Найти все корни четвёртой степени из z = 16i и изобразить их на комплексной плоскости. Число 16i имеет модуль 16 и аргумент π/2. После извлечения корня получатся четыре точки на окружности радиуса 2.
Ответ: четыре числа с указанными углами и модулем 2. Для изображения достаточно провести окружность радиуса 2 и отметить на ней четыре равномерно расположенные точки, начиная с направления π/8.
Один корень вместо всех. Ошибку допускают, перенося правило об арифметическом корне на комплексные числа. Для ненулевого z уравнение wⁿ = z имеет n решений. Проверьте себя: в формуле должны присутствовать значения k = 0, ..., n − 1.
Забывают 2πk. Один записанный аргумент описывает направление исходного числа, но не все его аргументы. Без добавки 2πk после деления на n исчезают остальные направления корней. Сверьте количество полученных значений с показателем степени.
Неверно выбирают значения k. Если взять k от 0 до n, последнее значение повторит первое, а произвольное бесконечное множество только усложнит запись. Достаточно использовать k = 0, 1, ..., n − 1. При увеличении k на n угол меняется на 2π, поэтому число не меняется.
Путают действия с модулем и аргументом. Корень берут из модуля r, а аргумент φ + 2πk делят на n. Нельзя делить на n сам модуль или извлекать корень из угла. Полезная проверка: у всех результатов должен быть модуль √[n]{r}.
До извлечения корней нужно знать модуль, аргумент и тригонометрическую форму комплексного числа, а также формулу Муавра. Именно эти понятия объясняют, как изменяются модуль и аргумент при возведении в степень.
Тема связана с решением уравнений wⁿ = z и со свойствами тригонометрической и показательной форм комплексных чисел. Одна и та же идея позволяет переводить алгебраическое уравнение в задачу о модулях и углах.
Дальше формула пригодится при решении комплексных алгебраических уравнений и изучении корней из единицы. Корни из единицы также помогают описывать симметрию точек на окружности.
Почему у комплексного числа несколько корней одной и той же степени?
Аргумент комплексного числа задаётся не одним углом, а углами φ + 2πk, потому что полный оборот не меняет точку на плоскости. После деления этих углов на n получаются разные направления корней. Поэтому у ненулевого числа wⁿ = z имеется ровно n корней.
Зачем в формуле корней добавляют 2πk к аргументу?
Числа φ, φ + 2π, φ + 4π и так далее задают один и тот же исходный комплексный аргумент. При делении на n они превращаются в разные углы, поэтому добавка 2πk помогает не потерять решения.
Почему достаточно рассматривать значения k от 0 до n − 1?
При увеличении k на n угол корня возрастает на 2π, а это не меняет комплексное число. Поэтому следующие значения k начинают повторять уже найденные корни.
Как быстро проверить, что найденные числа действительно являются корнями?
Возведите каждый результат в n-ю степень по формуле Муавра. Модуль должен стать равным r, а аргумент — совпасть с φ с точностью до полного оборота 2π.
Как изобразить корни комплексного числа на комплексной плоскости?
Для каждого корня отложите точку с расстоянием √[n]{r} от начала координат и соответствующим аргументом. Все точки окажутся на одной окружности и будут равномерно разделены углом 2π/n.
§ 3. Извлечение корней из комплексных чисел
