§ 4. Линейные функции комплексного переменного

Определения и обозначения

Комплексная плоскость — способ изображать комплексное число z = x + iy точкой с координатами (x, y). Действительная часть x задаёт координату по горизонтальной оси, а мнимая часть y — по вертикальной. Такое изображение позволяет рассматривать действия с числами как преобразования точек и фигур.

Функция комплексного переменного — соответствие w = f(z), при котором каждому комплексному числу z из области определения ставится в соответствие комплексное число w. Здесь z называют независимой переменной, а w — её образом. Это понятие нужно, чтобы описывать правила перехода от одних точек комплексной плоскости к другим.

Линейная функция комплексного переменного имеет вид w = az + b, где z — переменная, а a и b — постоянные комплексные числа. Коэффициент a действует на переменную, а b добавляется после этого действия. Такая запись удобна тем, что по двум коэффициентам можно определить геометрию преобразования.

Модуль и аргумент комплексного числа a — его характеристики: модуль |a| задаёт масштаб, а аргумент arg a задаёт направление поворота. При умножении на a расстояния умножаются на |a|, а угол поворота равен arg a. Поэтому модуль и аргумент нужны для перевода алгебраической формулы в геометрическое описание.

Как это устроено

Формулу w = az + b удобно читать как последовательность двух действий: сначала к z применяется умножение на a, затем прибавляется b. Причина такого порядка — обычный порядок операций: умножение выполняется раньше сложения. Поэтому сначала меняются масштаб и направление относительно начала координат, а уже потом вся полученная картина сдвигается.

Чтобы понять действие умножения, запишем a в тригонометрической форме: a = |a|(cos φ + i sin φ), где φ = arg a. При перемножении модулей расстояние от начала координат умножается на |a|, а аргументы складываются, поэтому точка поворачивается на угол φ. Если |a| больше 1, расстояния увеличиваются; если 0 < |a| < 1 — уменьшаются.

Прибавление b можно представить как сложение векторов. Числу b = u + iv соответствует вектор (u, v), поэтому к координатам каждой точки прибавляются одни и те же u и v. Из-за одинакового сдвига расстояния между точками и углы между направлениями не меняются, а фигура сохраняет форму и размер.

Если a ≠ 0, умножение на a обратимо: для любой точки w можно найти z = (w − b)/a. Умножение сохраняет прямые и углы, а все длины изменяет в одинаковое число раз, равное |a|; перенос этого свойства не нарушает. Значит, функция задаёт преобразование подобия с последующим переносом: прямые переходят в прямые, а фигуры сохраняют форму.

Особые значения коэффициентов сразу показывают характер преобразования. При a = 0 формула становится w = b, и все точки сливаются в одну; при |a| = 1 умножение не меняет длины, оставляя только поворот, а при b = 0 исчезает перенос. Чтобы восстановить геометрический смысл формулы, найдите |a| и arg a, а затем отдельно прочитайте b как вектор сдвига.

Геометрический смысл линейной функции w = az + b

Сначала найдите строку, соответствующую формуле или условию на коэффициенты. Затем отдельно проследите за расстояниями и углами: это поможет отличить перенос от умножения. Если формула не совпадает с одной строкой целиком, разложите её на умножение и прибавление.

Разбор задач

Задача 1. Найти образ точки z = 1 + 2i при отображении w = (2 − i)z + 3. Нужно подставить координату точки и аккуратно перемножить комплексные числа. Записываем вычисления по шагам.

1. Подставляем z: w = (2 − i)(1 + 2i) + 3.
2. Раскрываем скобки: (2 − i)(1 + 2i) = 2 + 4i − i − 2i² = 4 + 3i, так как i² = −1.
3. Прибавляем 3 и получаем w = 7 + 3i.

Ответ: образ точки — число 7 + 3i, то есть точка (7, 3). Действительная часть результата задаёт первую координату, мнимая — вторую. Проверка состоит в том, что итог записан в стандартном виде x + iy.

Задача 2. Описать преобразование w = 2e^(iπ/3)z − 1 + i. Сначала выделим коэффициенты a = 2e^(iπ/3) и b = −1 + i. Тогда |a| = 2, arg a = π/3, а вектор переноса имеет координаты (−1, 1).

1. Умножение на a поворачивает каждую точку против часовой стрелки на π/3, то есть на 60°.
2. Модуль коэффициента равен 2, поэтому все расстояния от начала координат после умножения увеличиваются вдвое.
3. После поворота и растяжения прибавление b переносит результат на вектор (−1, 1).

Ответ: поворот на 60° против часовой стрелки, растяжение в 2 раза, затем перенос на вектор (−1, 1). Такой порядок следует из записи az + b: сначала выполняется умножение, затем сложение. Перенос не меняет форму полученной фигуры.

Задача 3. Найти образ прямой Re z = 1 при отображении w = (1 + i)z + 2 − i. Обозначим z = x + iy, а w = u + iv. Подстановка координат позволит получить связь между u и v и исключить исходный параметр y.

1. Раскрываем произведение: (1 + i)(x + iy) = x − y + i(x + y).
2. С учётом слагаемого 2 − i получаем u = x − y + 2 и v = x + y − 1.
3. На исходной прямой x = 1, поэтому u = 3 − y, а v = y. Складывая равенства, исключаем y и получаем u + v = 3.

Ответ: образ — прямая Re w + Im w = 3. Проверить результат можно, заметив, что для каждой исходной точки x = 1 сумма новых координат u + v равна 3. Поскольку a = 1 + i ≠ 0, исходная прямая не схлопывается в точку.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать линейной только функцию w = az и забывать слагаемое b. Её допускают, перенося привычное значение слова «линейный» из других тем, но здесь принято рассматривать общий вид az + b. Проверяйте формулу по определению: постоянные комплексные a и b могут присутствовать одновременно.

Вторая ошибка — думать, что умножение на комплексное число меняет только длину. При этом упускают аргумент a, который задаёт поворот; причина — сосредоточенность на модуле. Для самопроверки каждый раз находите обе характеристики: |a| отвечает за масштаб, arg a — за угол.

Третья ошибка — путать действия коэффициентов a и b. Иногда b принимают за множитель, а a — за перенос, хотя умножение выполняет поворот и изменение масштаба, а сложение задаёт сдвиг. Проверяйте смысл подстановкой: az относится к переменной, а b прибавляется к уже полученному результату.

Четвёртая ошибка — применять обратимость к случаю a = 0. Здесь деление на a невозможно, а все значения z дают один и тот же w = b; ошибку провоцирует механическое использование формулы z = (w − b)/a. Перед обращением функции обязательно проверьте условие a ≠ 0.

Связь с другими темами

Для работы с линейными функциями нужны действия с комплексными числами, их модуль и аргумент, а также изображение чисел на плоскости. Геометрическое объяснение опирается на координаты и векторы: перенос задаётся вектором, а умножение связано с поворотом и изменением масштаба. Эти идеи продолжают тему преобразований плоскости и подобия. Они пригодятся при поиске образов прямых, окружностей и других фигур.

Что запомнить

• Линейная функция комплексного переменного имеет вид w = az + b.
• Умножение на a поворачивает на arg a и изменяет масштаб в |a| раз.
• Прибавление b задаёт параллельный перенос.
• При a ≠ 0 линейная функция переводит прямые в прямые и сохраняет углы.
• Если a = 0, функция постоянна и все точки переходят в b.
• Модуль коэффициента определяет изменение длин, а его аргумент — угол поворота.
• Обратное преобразование существует только при a ≠ 0.