"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Формула Эйлера задаёт значение экспоненты с мнимым показателем: e^(ix) = cos x + i sin x. Она показывает, что такое число имеет действительную и мнимую части и изображается точкой единичной окружности на комплексной плоскости. Формула связывает показательную и тригонометрическую формы комплексного числа, помогает находить аргумент, модуль, выполнять преобразования и решать уравнения с комплексной экспонентой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Мнимая единица i — комплексное число, для которого i² = −1. Из этого следует i⁴ = 1, поэтому степени i повторяются по кругу: i, −1, −i, 1. Это правило позволяет упрощать разложения и вычисления с комплексными числами.
Мнимая степень — выражение вида e^(ix), где x — действительное число. Такой показатель нельзя понимать как обычную действительную степень: результат обычно является комплексным числом. Это обозначение понадобится, чтобы связать экспоненту с синусом и косинусом.
Комплексная экспонента e^(ix) — значение экспоненты с мнимым показателем. Её определяют так, чтобы свойства степенного ряда экспоненты сохранялись и для комплексных показателей. Благодаря этому выражение можно представить через действительную и мнимую части.
Формула Эйлера — равенство e^(ix) = cos x + i sin x. Она связывает экспоненту, тригонометрические функции и комплексные числа в одной записи. По ней сразу видны действительная часть cos x и мнимая часть sin x.
Экспонента раскладывается в степенной ряд e^t = 1 + t + t²/2! + t³/3! + …. Подставим t = ix и получим 1 + ix + (ix)²/2! + (ix)³/3! + …. Из-за повторения степеней i чётные степени дают действительные слагаемые, а нечётные — мнимые.
Соберём эти слагаемые отдельно: e^(ix) = (1 − x²/2! + x⁴/4! − …) + i(x − x³/3! + x⁵/5! − …). Первая скобка совпадает с рядом косинуса, а выражение во второй скобке — с рядом синуса. Поэтому результатом подстановки становится cos x + i sin x, а не просто формальная сумма двух функций.
На комплексной плоскости число a + bi изображается точкой с координатами (a, b). Для e^(ix) эти координаты равны (cos x, sin x), то есть точка лежит на единичной окружности. Её модуль равен √(cos² x + sin² x) = 1, а x задаёт направление радиус-вектора и является аргументом числа.
Синус и косинус имеют период 2π: cos(x + 2πk) = cos x и sin(x + 2πk) = sin x. Подстановка этих равенств в формулу Эйлера даёт e^(i(x+2πk)) = e^(ix), где k ∈ Z. Поэтому одному ненулевому комплексному числу соответствуют аргументы x + 2πk, а не только одно число x.
При x = π косинус равен −1, а синус равен 0, поэтому e^(iπ) = −1. При x = π/2 косинус равен 0, а синус — 1, откуда e^(iπ/2) = i. Эти равенства показывают, как знакомые точки единичной окружности появляются из комплексной экспоненты.
Формула Эйлера также позволяет раскрывать выражения с тригонометрическими функциями. Например, e^(−ix) = cos x − i sin x, а сложение и вычитание e^(ix) и e^(−ix) дают cos x и sin x. Если требуется найти части числа, достаточно привести его к виду a + bi и считать коэффициенты при 1 и i.
| Выражение | Действительная часть | Мнимая часть | Значение |
|---|---|---|---|
| e^(ix) | cos x | sin x | cos x + i sin x |
| e^(−ix) | cos x | −sin x | cos x − i sin x |
| e^(iπ) | −1 | 0 | −1 |
| e^(iπ/2) | 0 | 1 | i |
| e^(i(x+2πk)), где k — целое число | cos x | sin x | cos x + i sin x = e^(ix) |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала сопоставьте показатель нужному углу, а затем найдите значения синуса и косинуса. Действительная часть записывается отдельно, а коэффициент при i является мнимой частью. Для показателей, отличающихся на 2πk, результат остаётся тем же.
Нужно раскрыть комплексную экспоненту по формуле Эйлера. Угол π/3 — известный, поэтому точные значения синуса и косинуса находятся без приближённых вычислений. После подстановки останется стандартная форма a + bi.
Ответ: e^(iπ/3) = ½ + (√3/2)i. Действительная часть равна ½, а мнимая часть — √3/2.
Сначала нужно раскрыть экспоненту, а затем умножить оба слагаемых на 3. Это важно: множитель изменяет и действительную, и мнимую части. Для угла π/4 синус и косинус равны √2/2.
Ответ: Re z = 3√2/2, Im z = 3√2/2. Само число имеет вид z = 3√2/2 + (3√2/2)i.
По формуле Эйлера число e^(ix) изображается точкой единичной окружности с углом x. Число −i имеет координаты (0, −1), поэтому нужно найти угол, направленный вниз. На заданном промежутке такой угол единственный.
Ответ: x = 3π/2. Проверка по формуле Эйлера даёт e^(i·3π/2) = 0 + i(−1) = −i.
Считать e^(ix) действительным числом. Так происходит, если не учитывать мнимую часть. Проверьте себя по формуле: при sin x ≠ 0 у результата есть ненулевой коэффициент при i.
Записывать e^(ix) = cos x + sin x. В такой записи исчезает мнимая единица, и выражение становится действительным. Всегда сверяйте результат с формой cos x + i sin x.
Путать sin x и cos x в частях числа. Действительная часть — это cos x, а коэффициент при i, то есть мнимая часть, — sin x. Проверить порядок можно по точке x = 0: e^0 = 1, значит действительная часть должна быть 1, а мнимая — 0.
Считать аргумент всегда равным только x. Один и тот же радиус-вектор можно получить после полного оборота, поэтому аргументы имеют вид x + 2πk. При решении задачи обязательно учитывайте указанный промежуток для x.
Для формулы Эйлера нужны степени мнимой единицы, запись комплексного числа a + bi и точные значения синуса и косинуса основных углов. Эти знания позволяют понять, откуда берутся действительная и мнимая части.
Формула переводит комплексное число из тригонометрической формы в показательную. Она особенно полезна при умножении и делении комплексных чисел, а также при вычислении их степеней, поскольку действия с показателями становятся проще.
Почему в формуле Эйлера перед sin x стоит i?
Потому что sin x образует мнимую часть комплексного числа, а мнимая часть записывается как коэффициент при мнимой единице i. Без множителя i выражение cos x + sin x было бы обычным действительным числом.
Что означает мнимый показатель в выражении e^(ix)?
Это не обычная степень действительного числа, а значение экспоненты, у которой показатель ix содержит мнимую единицу. По формуле Эйлера такое значение равно cos x + i sin x и является комплексным числом.
Почему модуль числа e^(ix) равен 1?
У числа e^(ix) действительная и мнимая части равны cos x и sin x. Поэтому его модуль равен √(cos² x + sin² x) = 1.
Чем отличаются e^(ix) и e^(−ix)?
По формуле Эйлера e^(ix) = cos x + i sin x, а e^(−ix) = cos x − i sin x. Они имеют одинаковую действительную часть и противоположные мнимые части, поэтому соответствующие точки симметричны относительно действительной оси.
Почему значения e^(ix) повторяются через 2π?
Синус и косинус не меняются при прибавлении к аргументу числа 2πk, где k — целое число. Поэтому e^(i(x+2πk)) = e^(ix), хотя показатель при этом изменяется.
§ 5. Формула Эйлера для мнимых показателей
