§ 18. Статистическая обработка данных

Определения и обозначения

Статистические данные — результаты наблюдений или измерений, собранные для изучения некоторого явления. Например, это могут быть оценки учеников, время в пути или дневные температуры. Отдельный результат называют наблюдением, а число всех результатов — объёмом данных и обозначают n. Это обозначение помогает понимать, сколько значений участвует в подсчётах.

Частота значения — количество раз, которое это значение встречается в наборе данных. Её часто обозначают m; относительная частота — доля наблюдений с этим значением, равная отношению частоты к общему числу наблюдений. Например, если оценка 4 встретилась 6 раз из 20, её относительная частота равна 6/20 = 0,3. Частоты нужны для подсчётов, а относительные частоты позволяют сравнивать наборы разного размера.

Среднее арифметическое — сумма всех наблюдений, разделённая на их количество: x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n. Размах — разность наибольшего и наименьшего значений. Среднее показывает общий центр числовых данных, а размах помогает оценить, насколько далеко друг от друга расположены крайние результаты. Оба показателя сводят большой список к короткому описанию.

Мода — значение, встречающееся чаще других, а медиана — центральное значение упорядоченного набора. При чётном числе наблюдений медианой считают среднее двух центральных значений. Мода показывает наиболее распространённый результат, а медиана делит упорядоченные данные пополам. Эти характеристики нужны, когда одного среднего недостаточно, чтобы понять, какие значения типичны.

Как это устроено

Работу начинают с проверки и упорядочивания исходных данных. Проверка позволяет заметить пропуски, повторы, невозможные значения и ошибки записи, которые иначе исказят результат. Затем значения располагают по возрастанию, если порядок важен для вычисления медианы или анализа диапазона. Так исходный список становится удобнее для подсчётов, но сами данные при этом не меняются.

Если в наборе много повторов, удобно составить таблицу значений и частот. Каждое различное значение записывают один раз, а рядом указывают, сколько наблюдений ему соответствует. Такой способ сокращает вычисления: вместо повторного сложения одинаковых чисел используют произведения значения на его частоту. Проверка суммы частот на равенство n помогает обнаружить пропущенные наблюдения.

Относительные частоты переводят подсчёты в доли или проценты. Это нужно, когда сравнивают группы с разным числом участников: например, 10 случаев из 20 и 10 случаев из 100 имеют одинаковую частоту, но разную распространённость. Чтобы получить процент, относительную частоту умножают на 100%. Сумма всех долей должна быть равна 1, а сумма процентов — 100% с возможной погрешностью округления.

Среднее вычисляют по всем значениям, поэтому каждый результат влияет на него. В таблице частот используют формулу x̄ = (x₁m₁ + x₂m₂ + … + xₖmₖ) / n: числовое значение умножают на число его появлений, произведения складывают и делят на объём данных. Из-за влияния каждого наблюдения среднее может сдвинуться, если в набор добавить очень большое или очень маленькое значение. Поэтому полезно сопоставлять его с другими характеристиками.

Медиану находят после упорядочивания данных, потому что её определяет положение значений в ряду, а не их сумма. При нечётном n выбирают одно центральное наблюдение, а при чётном n усредняют два центральных. Мода, напротив, определяется числом повторений и может быть не единственной. Размах рассчитывают как разность крайних значений; он показывает общий диапазон, но не объясняет, как наблюдения распределены внутри него.

Характеристики и способы подсчёта

Сначала выберите показатель под вопрос: частота отвечает на вопрос «сколько раз», а относительная частота — «какая доля». Для описания центра сопоставьте среднее, моду и медиану, а для оценки крайних значений используйте размах. Таблица не заменяет исходные данные, поэтому при необычном результате полезно вернуться к ним и проверить вычисления.

Разбор задач

За неделю ученик потратил на дорогу до школы, в минутах, 12, 10, 15, 10, 13, 10, 14 минут. Найдём объём данных, среднее, размах, моду и медиану. Эти характеристики отвечают на разные вопросы: сколько было наблюдений, каково среднее время, насколько различались результаты и какое время типично. Запишем вычисления последовательно, чтобы проверить каждое значение.

1. В списке 7 чисел, поэтому n = 7. Для среднего складываем все времена и делим сумму на 7.
2. Сумма равна 12 + 10 + 15 + 10 + 13 + 10 + 14 = 84, значит, среднее равно 84 / 7 = 12 минут. Проверка умножением даёт 12 × 7 = 84.
3. Наименьшее значение — 10, наибольшее — 15, поэтому размах равен 15 − 10 = 5 минут. Он показывает расстояние между крайними результатами, а не типичное отклонение каждого дня.
4. Упорядочим данные: 10, 10, 10, 12, 13, 14, 15. Чаще всего встречается 10, значит, мода равна 10; при семи значениях медианой служит четвёртое значение, то есть 12.

Ответ: среднее время — 12 минут, размах — 5 минут, мода — 10 минут, медиана — 12 минут. Среднее и медиана совпали, хотя мода меньше: это не противоречие, потому что показатели используют разные свойства данных. Для среднего важна сумма всех результатов, для медианы — положение в упорядоченном ряду, а для моды — число повторений. Поэтому итоговое описание точнее, чем одно число.

Типичные ошибки

• Путают частоту с относительной частотой и записывают число наблюдений вместо доли. Такое происходит потому, что оба показателя относятся к одному значению. Проверьте результат: частота — целое число, не превосходящее n, а относительная частота лежит от 0 до 1.

• Находят медиану в неупорядоченном списке. В таком случае выбранное «среднее» место может соответствовать не центральному значению. Перед поиском медианы расположите данные по возрастанию и проверьте, что при чётном количестве взяты два центральных элемента.

• Делят сумму значений на число различных значений, а не на объём данных. Ошибка возникает, когда вычисления ведут по таблице частот и забывают, что повторения тоже участвуют в среднем. При подсчёте через таблицу умножайте каждое значение на его частоту, а затем делите на сумму частот.

• Считают, что мода всегда одна, или находят её по наибольшему самому значению. Мода определяется частотой, а не величиной результата; иногда несколько значений делят максимальную частоту. Сверьте число повторений каждого значения и укажите все значения с максимальной частотой.

Связь с другими темами

Статистическая обработка опирается на арифметические действия: сложение, деление и работу с дробями или процентами. Таблицы частот связаны с представлением данных в таблицах и диаграммах, где те же подсчёты становятся наглядными. Упорядочивание чисел использует навыки сравнения и помогает находить медиану и размах. Эти приёмы применяются в задачах из естественных наук, экономики и повседневной жизни, когда нужно сравнить результаты наблюдений.

Что запомнить

• Частота показывает число повторений, относительная частота — долю от общего количества.
• Сумма частот равна n, а сумма относительных частот равна 1.
• Среднее равно сумме всех наблюдений, делённой на их количество; в таблице учитывают частоты значений.
• Размах равен максимуму минус минимум, мода — наиболее частому значению, медиана — середине упорядоченного ряда.
• Перед выводом проверяйте исходные данные и выбирайте показатель, который отвечает на поставленный вопрос.