§ 19. Простейшие вероятностные задачи

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие с заранее известными возможными результатами, исход которого нельзя предсказать точно. Например, при броске кубика заранее известны числа от 1 до 6, но неизвестно, какое выпадет. Это понятие помогает отделить случайные ситуации от тех, где результат полностью задан условиями.

Элементарный исход — один конкретный результат случайного опыта. При броске кубика элементарными исходами будут выпадение 1, выпадение 2 и так далее до 6. Перечисление таких результатов даёт основу для подсчёта вероятности и не позволяет смешивать разные варианты.

Событие — утверждение о результате опыта, которое может произойти или не произойти; ему соответствуют некоторые элементарные исходы. Например, событию «выпало чётное число» соответствуют исходы 2, 4 и 6. Понятие события нужно, чтобы точно указать, какие результаты мы хотим оценить.

Вероятность события в опыте с равновозможными исходами — отношение числа исходов, благоприятных событию, к общему числу исходов. Если событие обозначить A, то его вероятность записывают P(A). Это отношение показывает долю подходящих исходов среди всех возможных и позволяет сравнивать шансы разных событий.

Как это устроено

Сначала задают случайный опыт и перечисляют все его возможные результаты без повторов. Этот список называют пространством элементарных исходов; в простых задачах его можно записать словами или числами. Полнота списка важна: пропущенный исход изменит общее количество вариантов, а повтор одного результата искусственно увеличит его. Поэтому перед подсчётом полезно сверить список с условиями опыта.

Классическая формула работает, когда исходы равновозможны, то есть ни один из них не имеет преимущества перед другим. Например, у правильной монеты обе стороны устроены одинаково, поэтому орёл и решка имеют равные шансы. Если предмет несимметричен или условия выбора дают одним результатам преимущество, простой подсчёт исходов не отражает реальные шансы. В таком случае нельзя считать вероятность только по числу вариантов.

Затем определяют благоприятные исходы: это результаты из полного списка, при которых выбранное событие происходит. Например, для события «на кубике выпало число больше 4» подходят только 5 и 6. Проверка каждого исхода по условию события помогает не включить лишний результат и не забыть подходящий. Благоприятные исходы не образуют новый опыт, а являются частью общего списка.

Пусть всего имеется n равновозможных исходов, а событию A благоприятствуют m из них. Тогда вероятность находят по формуле P(A) = m/n. Сначала считают все исходы, затем отдельно — подходящие, после чего делят второе число на первое. Полученное отношение можно оставить дробью или записать десятичным числом, если это удобно.

Невозможное событие не имеет благоприятных исходов, поэтому его вероятность равна 0/n = 0. Достоверное событие происходит при любом исходе: для него m = n, значит, P(A) = n/n = 1. У случайного события вероятность находится между этими крайними значениями, поскольку 0 ≤ m ≤ n. Границы 0 и 1 помогают заметить ошибку в вычислении или подсчёте.

Виды событий и их вероятности

В таблице n обозначает общее число равновозможных исходов, а m — число благоприятных. Сначала решите, может ли событие произойти и обязано ли оно произойти: так можно распознать невозможное или достоверное событие. Если возможны оба варианта — событие наступает или нет, — оно случайное, и его вероятность находят по формуле.

Разбор задач

Монета

Правильную монету подбрасывают один раз. Найдём вероятность выпадения орла, предварительно проверив, что исходы перечислены полностью и имеют одинаковые шансы. Поскольку монета правильная, классическую формулу применять можно.

1. Записываем элементарные исходы: орёл и решка. Всего n = 2 исхода.
2. Событию «выпал орёл» благоприятен один исход, поэтому m = 1.
3. Подставляем числа в формулу: P(A) = m/n = 1/2.

Ответ: 1/2. Это означает, что при одном броске вероятность орла составляет половину, или 0,5.

Игральный кубик

Правильный кубик бросают один раз. Требуется найти вероятность выпадения числа, большего 4. Сначала учитываем все возможные результаты броска, а затем оставляем только те, которые удовлетворяют условию.

1. Элементарные исходы — числа 1, 2, 3, 4, 5, 6; их всего n = 6.
2. Числа, большие 4, — это 5 и 6. Благоприятных исходов m = 2.
3. Вычисляем: P(A) = 2/6 = 1/3.

Ответ: 1/3. Результат меньше 1, поскольку событие происходит не при каждом возможном исходе.

Шары в коробке

В коробке 4 красных, 3 синих и 5 белых одинаковых по размеру шаров. Наугад достают один шар; требуется найти вероятность того, что он не будет синим. Каждый шар можно считать отдельным элементарным исходом: одинаковый размер и случайный выбор не дают одному шару преимущества.

1. Считаем общее число шаров: n = 4 + 3 + 5 = 12.
2. Событию «шар не синий» благоприятствуют красные и белые шары: m = 4 + 5 = 9.
3. Находим вероятность: P(A) = 9/12 = 3/4.
4. Проверяем через противоположное событие «шар синий»: его вероятность равна 3/12 = 1/4, поэтому вероятность взять не синий шар равна 1 − 1/4 = 3/4.

Ответ: 3/4. Проверка через противоположное событие подтверждает, что учтены все цвета и общее число шаров.

Типичные ошибки

• Иногда записывают только число благоприятных исходов и считают его ответом. Так происходит, когда внимание сосредоточено на условии события, а общее число вариантов забывают. Проверьте, что после подсчёта m вы нашли n и вычислили отношение m/n.

• В списке могут повторить один результат или пропустить возможный. Обычно это случается, если варианты перечисляют наспех или считают не отдельные результаты, а их названия. Сверьте список с условиями и проверьте, что каждый исход указан ровно один раз.

• Формулу P(A) = m/n применяют даже тогда, когда исходы имеют разные шансы. Причина ошибки — считать, что любой конечный список автоматически состоит из равновозможных вариантов. Перед вычислением объясните, почему исходы равноправны; если это нельзя обосновать, простой подсчёт не подходит.

• Вероятность иногда получается больше 1 или меньше 0. Такой результат невозможен, потому что число благоприятных исходов неотрицательно и не превышает общего числа исходов. Проверьте подсчёт числителя и знаменателя и убедитесь, что итог удовлетворяет условию 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Связь с другими темами

Для решения вероятностных задач нужно уметь составлять конечные списки вариантов и считать их количество. Этот навык встречается и в обычных задачах на перебор: важно охватить все варианты и не посчитать один дважды. Чем аккуратнее построен список, тем надёжнее будет вычисление вероятности.

Вероятность по классической формуле — отношение двух целых чисел, поэтому при вычислениях нужны знания о дробях и отношениях. Умение сокращать дробь помогает записать ответ в простом виде, а сравнение дробей — оценить, насколько вероятно событие. Полученное число всегда можно проверить по границам от 0 до 1.

Понятие вероятности пригодится при изучении статистики, комбинаторных методов и более сложных вероятностных задач. В статистике рассматривают данные и частоты событий, а комбинаторика помогает подсчитывать количество вариантов. В дальнейшем вероятностные рассуждения позволяют решать задачи, где простого списка исходов уже недостаточно.

Что запомнить

• Исход — отдельный результат случайного опыта.
• Событию соответствуют те исходы, при которых оно происходит.
• Классическая формула применима, если все исходы равновозможны.
• P(A) = число благоприятных исходов / общее число исходов.
• Вероятность невозможного события равна 0, достоверного — 1.
• Для любого события выполняется 0 ≤ P(A) ≤ 1.