"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Сочетания и размещения помогают считать, сколькими способами можно выбрать элементы из заданного набора. Если порядок выбранных элементов или назначенные им роли важны, используют размещения; если важен только состав группы — сочетания. В обоих случаях элементы выбирают без повторений, а формулы выражаются через факториалы. Главное в решении задачи — определить, создаёт ли перестановка элементов новый вариант.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Размещение без повторений — упорядоченный выбор m различных элементов из n элементов, где порядок выбранных элементов имеет значение. Иначе говоря, выбирают элементы и сразу задают им места или роли. Такое понятие нужно, когда перестановка выбранных элементов меняет результат.
Число размещений — количество всех размещений; его обозначают Aₙᵐ и вычисляют по формуле Aₙᵐ = n!/(n−m)!. Факториал n! — произведение целых чисел от 1 до n, причём 0! = 1. Формула позволяет быстро посчитать все допустимые упорядоченные выборы.
Сочетание без повторений — выбор m различных элементов из n, в котором порядок выбранных элементов не имеет значения. Например, одна и та же команда не становится другой командой, если перечислить её участников в ином порядке. Это понятие используют при выборе групп, состав которых важнее распределения мест.
Число сочетаний — количество всех сочетаний; его обозначают Cₙᵐ и вычисляют по формуле Cₙᵐ = n!/(m!(n−m)!). Деление на m! убирает разные порядки одного и того же набора. Так находят число вариантов, не считая одну группу несколько раз.
Чтобы выбрать и расставить m элементов из n, можно последовательно заполнять места. На первое место подходят все n элементов, на второе — любой из оставшихся n−1, на третье — n−2, и так далее. По правилу умножения числа вариантов перемножаются, потому что для каждого выбора на предыдущем шаге возможны все варианты следующего шага.
Последний, m-й элемент выбирают из n−m+1 оставшихся, поэтому число размещений равно n · (n−1) · … · (n−m+1). Такая запись напрямую показывает последовательный выбор без повторений: уже использованный элемент больше не может занять следующее место. Если раскрыть факториал n!, в нём есть множители от n до n−m+1 и дополнительно множители (n−m) · … · 1. Деление на (n−m)! сокращает именно эти лишние множители и даёт Aₙᵐ = n!/(n−m)!.
При сочетаниях порядок не учитывают, поэтому все перестановки одних и тех же m элементов обозначают одну группу. Но размещения различают эти перестановки: у каждого выбранного набора есть m! способов расставить элементы по порядку. Например, троих участников можно перечислить 3! способами, хотя состав группы при этом не меняется. Поэтому размещения одного состава нужно объединить в один вариант сочетания.
Для перехода от размещений к сочетаниям достаточно убрать повторный подсчёт порядков. Каждому сочетанию соответствуют ровно m! размещений, ведь все m элементов можно переставить между собой m! способами. Значит, Cₙᵐ = Aₙᵐ/m!. Подставив Aₙᵐ = n!/(n−m)!, получаем Cₙᵐ = n!/(m!(n−m)!).
Выбирая формулу, сначала спроси себя, меняется ли результат при перестановке элементов. Если люди занимают разные должности, книги ставят на разные места или места в очереди различаются, порядок важен — это размещение. Если выбирают просто комиссию, команду или набор предметов, важен лишь состав — это сочетание. Когда задача состоит из нескольких этапов, каждый этап классифицируют отдельно, а результаты этапов перемножают.
| Характеристика | Размещения Aₙᵐ | Сочетания Cₙᵐ |
|---|---|---|
| Что выбирают | m элементов из n и располагают в определённом порядке | m элементов из n без упорядочивания |
| Имеет ли значение порядок | Да | Нет |
| Формула числа способов | Aₙᵐ = n!/(n−m)! | Cₙᵐ = n!/(m!(n−m)!) |
| Ограничения на параметры | 0 ≤ m ≤ n; повторений нет | 0 ≤ m ≤ n; повторений нет |
| Связь между видами выборок | Aₙᵐ = m!Cₙᵐ | Cₙᵐ = Aₙᵐ/m! |
Сначала найди в условии, выбирают ли упорядоченный набор или только его состав: это определяет нужный столбец. Затем сверь параметры n и m и подставь их в соответствующую формулу. Если задача разбита на этапы, применяй таблицу к каждому этапу отдельно.
Задача 1. Сколькими способами можно расставить на полке 4 различные книги, выбранные из 7? Книги могут занять разные места, поэтому перестановка одной и той же четвёрки меняет порядок на полке. Значит, нужно считать размещения четырёх книг из семи.
Ответ: 840 способов.
Задача 2. Сколькими способами можно выбрать комиссию из 3 человек среди 10 учеников? Если перечислить тех же учеников в другом порядке, состав комиссии не изменится. Следовательно, порядок не важен и нужно использовать сочетания.
Ответ: 120 способов.
Задача 3. Из 8 учеников нужно выбрать 4 человек, а затем назначить из них председателя и секретаря. Сначала важен только состав четвёрки, а после выбора два ученика получают разные должности. Поэтому задачу удобно разделить на выбор группы и распределение ролей.
Ответ: 840 способов.
Сочетания выбирают вместо размещений, когда элементам назначены разные роли или места. Ошибка возникает, если увидеть только слово «выбрать» и не учесть, что роли различаются. Проверь себя перестановкой: председатель и секретарь — не один и тот же результат при смене должностей, значит, порядок назначения важен.
Размещения применяют при выборе группы, хотя перестановка участников не создаёт нового варианта. Так бывает, когда слово «расположить» переносят на ситуацию, где перечисление людей — лишь способ записи состава. Проверь, изменится ли группа после перестановки: если нет, считай сочетаниями.
При переходе от размещений к сочетаниям иногда забывают делить на m!. Причина — в размещениях уже учтены все порядки одной и той же группы, и каждый из них принимают за отдельный вариант. Проверка: если формула сочетаний дала то же число, что и размещений, при m больше 1, повторный подсчёт, скорее всего, не устранён.
Ещё одна ошибка — перепутать n и m или применить формулы без повторений там, где один элемент разрешено выбирать несколько раз. Обычно n обозначает весь доступный набор, а m — размер выборки, и должно выполняться 0 ≤ m ≤ n. Сверь параметры с условием и выясни, может ли один элемент появиться в выборе повторно; при разрешённых повторах нужны другие формулы.
Для вывода формул нужны правило умножения, понятие перестановки и обозначение факториала. Размещения и сочетания применяют в комбинаторике, в том числе при подсчёте вариантов в задачах на вероятность. Формула сочетаний также используется при изучении бинома Ньютона и треугольника Паскаля: числа сочетаний появляются в коэффициентах разложения.
Как понять, что в задаче нужны размещения, а не сочетания?
Проверь, меняется ли результат, если поменять выбранные элементы местами. Если да — нужны размещения: например, при назначении разных должностей или расстановке по местам. Если состав группы остаётся тем же вариантом, нужны сочетания.
Почему в формуле сочетаний появляется множитель m! в знаменателе?
Одну и ту же группу из m элементов можно упорядочить m! способами. Размещения считают все эти порядки отдельно, а сочетания — только один раз. Поэтому число размещений делят на m!.
Можно ли выбирать один и тот же элемент несколько раз?
В формулах из этого параграфа повторения не допускаются: каждый элемент выбирают не более одного раза. Для выбора с повторениями используют другие формулы. Условие задачи должно прямо или по смыслу допускать повторный выбор.
Что означают параметры n и m в формулах?
n — общее количество доступных различных элементов. m — сколько элементов выбирают из этого набора. Для размещений и сочетаний без повторений должно выполняться 0 ≤ m ≤ n.
Как решать задачу, если сначала выбирают группу, а потом распределяют должности?
Сначала посчитай выбор группы сочетаниями, потому что на этом этапе важен только состав. Затем посчитай назначение разных должностей размещениями среди выбранных людей. Перемножь результаты по правилу умножения.
§ 20. Сочетания и размещения
