"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Бином Ньютона — способ быстро разложить степень суммы двух слагаемых в многочлен. Формула показывает, какие члены появятся, какие степени будут у слагаемых и какие коэффициенты перед ними поставить. Коэффициенты называют биномиальными и находят по сочетаниям или треугольнику Паскаля. Правило работает для натурального показателя n и помогает раскрывать скобки, находить отдельные коэффициенты и проверять вычисления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Бином Ньютона — формула разложения степени суммы двух слагаемых: (a + b)ⁿ = Cₙ⁰aⁿ + Cₙ¹aⁿ⁻¹b + … + Cₙⁿbⁿ, где n — натуральное число. Она заменяет длинное произведение одинаковых скобок готовым многочленом. Это особенно удобно, когда степень велика или нужно найти только один член.
Биномиальный коэффициент Cₙᵏ — число перед членом aⁿ⁻ᵏbᵏ в разложении (a + b)ⁿ, причём 0 ≤ k ≤ n. Индекс k показывает, сколько раз в выборе из скобок появляется b, а n − k — сколько раз появляется a. Поэтому коэффициент помогает определить не только числовой множитель, но и место члена в разложении.
Треугольник Паскаля — числовая таблица, где крайние числа каждой строки равны 1, а каждое внутреннее число получают сложением двух чисел над ним. В строке с номером n находятся коэффициенты разложения (a + b)ⁿ. Таблица позволяет быстро получить небольшие коэффициенты без отдельных вычислений сочетаний.
Произведение (a + b)ⁿ состоит из n одинаковых скобок. При раскрытии из каждой скобки выбирают либо a, либо b, поэтому любой получившийся член определяется набором таких выборов. Если b выбран ровно в k скобках, то остальные n − k скобок дали a, и возникает множитель aⁿ⁻ᵏbᵏ.
Один и тот же множитель можно получить разными наборами выборов. Выбрать k скобок, из которых берётся b, можно Cₙᵏ способами, поэтому одинаковые слагаемые складываются и перед ними появляется коэффициент Cₙᵏ. Именно подсчёт этих способов объясняет происхождение биномиальных коэффициентов, а не просто задаёт их как готовые числа.
Общая формула имеет вид (a + b)ⁿ = Cₙ⁰aⁿ + Cₙ¹aⁿ⁻¹b + Cₙ²aⁿ⁻²b² + … + Cₙⁿbⁿ. Чтобы найти член с номером k, берут коэффициент Cₙᵏ, степень a равной n − k и степень b равной k. Значение k начинается с 0 и заканчивается n, поэтому крайние члены равны aⁿ и bⁿ.
Рекуррентное свойство Cₙᵏ = Cₙ₋₁ᵏ⁻¹ + Cₙ₋₁ᵏ означает, что внутренний коэффициент складывается из двух соседних коэффициентов предыдущей строки. Например, после строки 1, 1 следующая строка получается как 1, 2, 1, а затем 1, 3, 3, 1. Так постепенно строятся строки треугольника Паскаля и находятся коэффициенты для любого небольшого n.
Коэффициенты симметричны: Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ. Это объясняется тем, что выбрать k скобок для b равносильно выбрать n − k скобок, из которых берётся a. При проверке разложения коэффициенты, равноудалённые от краёв, должны совпадать.
| Свойство | Запись | Как использовать |
|---|---|---|
| Крайние коэффициенты | Cₙ⁰ = Cₙⁿ = 1 | Сразу записывать первый и последний члены |
| Симметрия коэффициентов | Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ | Проверять середину и не вычислять парные коэффициенты дважды |
| Рекуррентное свойство | Cₙᵏ = Cₙ₋₁ᵏ⁻¹ + Cₙ₋₁ᵏ | Строить новую строку треугольника Паскаля |
| Сумма коэффициентов | Cₙ⁰ + Cₙ¹ + … + Cₙⁿ = 2ⁿ | Проверять строку или разложение, положив a = b = 1 |
| Коэффициенты для небольших n | n = 0: 1; n = 1: 1, 1; n = 2: 1, 2, 1; n = 3: 1, 3, 3, 1 | Быстро раскрывать степени до третьей и находить начало таблицы |
Для практической работы сначала определите показатель n, а затем найдите соответствующую строку треугольника Паскаля. Числа строки читайте слева направо: первое относится к k = 0, второе — к k = 1 и так далее. Если требуется проверка, сложите все коэффициенты: результат должен быть 2ⁿ.
Здесь a = x, b = 2, n = 4. Для четвёртой степени нужны коэффициенты строки 4: 1, 4, 6, 4, 1.
Ответ: (x + 2)⁴ = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16.
Представим выражение как (a + b)⁶, где a = 2x, b = −1. В общем члене (2x)⁶⁻ᵏ(−1)ᵏ степень x равна 6 − k, поэтому для x³ нужно 6 − k = 3.
Ответ: коэффициент при x³ равен −160.
Пусть a = x², b = 1. Общий член имеет вид C₇ᵏ(x²)⁷⁻ᵏ, поэтому степень x в нём равна 2(7 − k).
Ответ: 0.
Считать, что показатели обоих слагаемых убывают, неверно: в aⁿ⁻ᵏbᵏ показатель a уменьшается, а показатель b увеличивается. Проверка проста: их сумма в каждом члене должна быть равна n.
Нельзя выбирать коэффициент произвольно: перед aⁿ⁻ᵏbᵏ стоит именно Cₙᵏ. Ошибка возникает, когда индекс k не связывают со степенью b; сначала найдите эту степень.
В выражении (a − b)ⁿ легко потерять знак. Представляйте второй член как −b: знак определяется чётностью k, поэтому проверяйте множитель (−1)ᵏ.
Коэффициенты не являются случайным рядом чисел. Равенство Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ помогает проверить симметричные места разложения и обнаружить ошибку в вычислениях.
Перед изучением бинома Ньютона нужны навыки раскрытия скобок, возведения одночленов в степень и работы со свойствами степеней. Биномиальные коэффициенты связаны с сочетаниями: они считают способы выбрать несколько объектов из набора. Формула используется при преобразовании многочленов, поиске отдельных коэффициентов и в задачах по теории вероятностей.
Почему в разложении степени n получается n+1 членов?
В общем члене показатель k принимает все целые значения от 0 до n. Таких значений ровно n + 1, поэтому и членов разложения столько же.
Как понять, какой биномиальный коэффициент нужен для заданного члена?
Сначала определите показатель b в нужном члене: это k. Тогда коэффициент равен Cₙᵏ, а показатель a равен n − k. Если известна степень a, можно взять k = n − показатель a.
Как быстро получить коэффициенты с помощью треугольника Паскаля?
Найдите строку с номером n, считая верхнюю строку строкой с номером 0. Крайние числа в ней равны 1, а внутренние уже расположены в нужном порядке для коэффициентов разложения.
Почему при разложении (a−b)ⁿ у членов чередуются знаки?
Представьте разность как сумму a + (−b). При выборе b из k скобок появляется множитель (−b)ᵏ, равный (−1)ᵏbᵏ. Поэтому при нечётном k знак отрицательный, а при чётном положительный.
Как найти только один коэффициент, не записывая всё разложение?
Используйте общий член Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ и выберите k так, чтобы степень нужной переменной совпала с условием. Затем вычислите только соответствующий биномиальный коэффициент и степени.
§ 21. Формула бинома Ньютона
