§ 22. Случайные события и их вероятности

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие, результат которого заранее неизвестен, хотя возможные результаты можно перечислить. Например, при броске монеты возможны орёл и решка. Это понятие нужно, чтобы точно описать ситуацию, в которой мы оцениваем шансы, а не просто угадываем результат.

Исход опыта — один из возможных результатов случайного опыта. Например, выпадение числа 4 — исход при броске игрального кубика. Перечень исходов помогает увидеть, какие результаты вообще могут произойти и какие из них подходят для решения задачи.

Событие — набор исходов, при которых выполняется некоторое условие. Событие A «выпало чётное число» при броске кубика включает исходы 2, 4 и 6. Событие происходит, когда полученный исход входит в этот набор, поэтому его удобно рассматривать как часть множества всех исходов Ω.

Вероятность события A — число, характеризующее возможность его наступления; обозначается P(A). Для события из m благоприятных равновозможных исходов при общем числе n исходов используют формулу P(A) = m/n. Она нужна, чтобы выражать шансы числом от 0 до 1: чем больше вероятность, тем вероятнее событие.

Как это устроено

Сначала перечисляют все исходы опыта, потому что вероятность зависит не от того, насколько событие кажется привычным, а от набора возможных результатов. Для броска кубика это 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Если некоторые результаты забыть или посчитать дважды, изменится общее число исходов и ответ окажется неверным.

Формулу P(A) = m/n применяют только тогда, когда исходы равновозможны. Это значит, что ни один из них не имеет преимущества перед другими; у правильного кубика каждый номер выпадает с одинаковым шансом. При неравных шансах простое отношение количества исходов не работает: например, нельзя считать результаты особой, неодинаково нагруженной кости равновероятными без дополнительных сведений.

Затем находят благоприятные исходы — те, при которых условие события выполняется. Если A означает «выпало число больше 4», для кубика подходят 5 и 6, поэтому m = 2, а n = 6. Отношение 2/6 сокращают до 1/3; это и есть вероятность события, а не число благоприятных исходов само по себе.

Событие достоверно, если оно охватывает все возможные исходы, и тогда его вероятность равна 1. Событие невозможное не содержит ни одного исхода и имеет вероятность 0. Эти значения служат проверкой: результат по формуле не может быть меньше нуля или больше единицы, поскольку благоприятных исходов не бывает больше, чем всех исходов.

Для каждого события A можно рассмотреть противоположное событие Ā: оно означает, что A не произошло. Вместе A и Ā охватывают все исходы, не пересекаются и имеют суммарную вероятность 1, поэтому P(Ā) = 1 − P(A). Этот способ особенно удобен, если посчитать исходы «событие не произошло» проще, чем исходы самого события.

События A и B называют несовместными, если в одном опыте они не могут произойти одновременно. Тогда число исходов, благоприятных событию «A или B», складывается из числа подходящих для A и для B без повторного счёта, откуда P(A или B) = P(A) + P(B). Если события могут совпасть, простое сложение посчитает общие исходы дважды, поэтому правило требует несовместности.

Основные случаи и формулы

Таблица помогает выбрать формулу по условию задачи. Сначала выясните, равновозможны ли исходы, а затем проверьте, относится ли вопрос к противоположному событию или к двум несовместным событиям. Формулы для несовместных событий нельзя переносить на события, которые способны произойти одновременно.

Разбор задач

Задача. Правильный игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, кратное 3, или число 1. Решим задачу, последовательно выделив все исходы и проверив, можно ли складывать вероятности выбранных событий. Кубик правильный, поэтому каждый из шести возможных результатов имеет одинаковый шанс.

1. Запишем все исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Их шесть, значит n = 6. Перечень важен: он задаёт общий знаменатель и позволяет проверить, не потерян ли какой-нибудь результат.

2. Обозначим событие A: «выпало число, кратное 3». Ему благоприятствуют исходы 3 и 6, поэтому P(A) = 2/6. Делители здесь не нужны: проверяем именно кратность числа 3.

3. Событие B — «выпало число 1». Для него есть один благоприятный исход, поэтому P(B) = 1/6. События A и B несовместны: кубик не может одновременно показать 1 и число, кратное 3.

4. Так как события несовместны, складываем вероятности: P(A или B) = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2. Тот же результат можно проверить прямым подсчётом: подходят исходы 1, 3 и 6, то есть три из шести.

Ответ: вероятность равна 1/2. Она означает, что благоприятны половина равновозможных исходов, а не то, что при двух бросках событие обязательно наступит ровно один раз. Проверка прямым подсчётом подтверждает результат и помогает заметить ошибку в выборе исходов.

Типичные ошибки

• Применять P(A) = m/n, не проверив равновозможность исходов. Часто формулу запоминают, но забывают условие её применения. Перед подсчётом спросите себя, одинаковы ли шансы всех исходов; если нет, простое отношение количеств не обосновано.

• Путать число благоприятных исходов с вероятностью. Например, ответ «три» не может быть вероятностью, потому что вероятность не превышает 1. Запишите и числитель, и общее число исходов, затем вычислите дробь m/n.

• Складывать вероятности событий, которые могут произойти одновременно. Так общие исходы будут посчитаны дважды. Перед сложением проверьте, могут ли оба события выполниться в одном исходе; формула суммы без поправок подходит лишь для несовместных событий.

• Считать противоположное событие как отдельную группу без проверки. Событие Ā — это именно «A не произошло», поэтому вместе A и Ā должны охватывать все исходы. Проверьте равенство P(A) + P(Ā) = 1 и убедитесь, что ни один исход не пропущен.

Связь с другими темами

Вероятность опирается на понятия множества и его элементов: все исходы образуют множество Ω, а событие является его частью. Подсчёт благоприятных исходов связан с комбинаторикой, особенно когда исходов много и перечислять их по одному неудобно. Дроби и проценты позволяют представить найденную вероятность в разных формах: например, 1/2 = 0,5 = 50%. Случайные события также встречаются в статистике, где теоретические шансы сопоставляют с результатами наблюдений.

Что запомнить

• Событие происходит, если результат случайного опыта входит в множество его благоприятных исходов.

• Для равновозможных исходов P(A) = m/n; формула неприменима без проверки равновозможности.

• Всегда выполняется 0 ≤ P(A) ≤ 1; невозможное событие имеет вероятность 0, достоверное — 1.

• Для противоположного события P(Ā) = 1 − P(A).

• Вероятности несовместных событий складываются при вычислении вероятности того, что произойдёт A или B.