"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Равносильные уравнения имеют одно и то же множество решений: каждый корень одного подходит другому, и наоборот. Это свойство помогает упрощать уравнения, не меняя ответа. Не всякое привычное действие сохраняет равносильность: деление на выражение может привести к потере корня, а возведение в квадрат — добавить лишний. Поэтому при преобразованиях проверяют область допустимых значений и условия применения действия, а после некоторых шагов подставляют найденные значения в исходное уравнение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равносильные уравнения — уравнения, множества решений которых совпадают. Речь не просто о том, что у них есть один общий корень: должны совпасть все решения, включая случай, когда оба уравнения не имеют корней. Это понятие позволяет проверить, не изменился ли ответ при упрощении уравнения.
Равносильность уравнений — отношение, при котором любое решение первого уравнения является решением второго и наоборот. Два направления важны: если выполняется только одно, уравнения могут иметь общие корни, но не быть равносильными. Проверка равносильности помогает понять, можно ли заменить исходную задачу более удобной.
Равносильное преобразование уравнения — действие, сохраняющее множество его решений. Например, к обеим частям можно прибавить одно и то же выражение. Но при умножении, делении и возведении в степень нужно учитывать условия, при которых действие допустимо: иначе корни могут потеряться или появиться.
Следствие уравнения — уравнение, каждый корень которого является корнем исходного, но у которого могут быть дополнительные решения. Например, следствие может возникнуть после возведения обеих частей в квадрат. Такие преобразования полезны для поиска кандидатов, однако найденные значения затем проверяют в исходном уравнении.
Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую со сменой знака — сокращённая запись прибавления к обеим частям противоположного выражения. Если из равенства A + B = C вычесть B с обеих сторон, получится A = C − B. Обратным действием можно восстановить исходное равенство, поэтому ни одно решение не исчезает и новое не возникает. Именно обратимость действия объясняет равносильность такого шага.
Умножение или деление обеих частей на выражение сохраняет равносильность, если это выражение не равно нулю на рассматриваемой области. Умножение на ненулевое число обратимо: можно разделить на него и вернуться к исходному уравнению. Деление также возможно только при ненулевом делителе, иначе оно не определено. Если множитель зависит от переменной и может обнулиться, при умножении на него иногда появляются дополнительные решения, а при делении можно потерять корень.
При возведении в чётную степень разные числа могут дать одинаковый результат: например, 3² = (−3)². Поэтому из равенства квадратов следует, что исходные числа равны или противоположны, но не обязательно равны. Возведение в квадрат обычно даёт следствие: корни исходного уравнения сохраняются, однако могут появиться посторонние. Обратное действие в общем случае тоже требует осторожности: √(a²) = |a|, а не просто a.
Перед возведением обеих частей в квадрат полезно проверить их допустимые значения и знаки. Если обе части неотрицательны, равенство их квадратов равносильно равенству самих частей: функция y = x² на неотрицательных числах принимает разные значения для разных x. Если одна часть может быть отрицательной, квадрат стирает различие между противоположными числами. Тогда после преобразования кандидатов нужно подставить в первоначальное уравнение.
В цепочке преобразований каждый переход проверяют отдельно, потому что одно неравносильное действие меняет множество решений, даже если остальные шаги выполнены правильно. Цепочка равносильных уравнений позволяет сразу заключить, что ответы совпадают. Если на каком-то шаге получено лишь следствие, найденные значения становятся кандидатами, а не готовым ответом. Их проверка в исходном уравнении возвращает нас к первоначальным условиям задачи.
| Преобразование | Когда равносильно | Что проверить |
|---|---|---|
| Прибавление или вычитание одного выражения из обеих частей | Всегда, если выражения определены | Область определения выражений |
| Умножение обеих частей на выражение | Если выражение ненулевое на рассматриваемой области | Может ли множитель обратиться в ноль |
| Деление обеих частей на выражение | Если выражение определено и ненулевое | Нули делителя и возможные корни уравнения |
| Возведение обеих частей в чётную степень | Если обе части неотрицательны | Знаки обеих частей; после шага — корни в исходном уравнении |
| Извлечение корня чётной степени из обеих частей | Для неотрицательных частей при учёте знаков исходных выражений | ОДЗ и возможные значения с противоположными знаками |
Пользуйтесь таблицей перед действием: сначала проверьте, определены ли выражения и могут ли они обратиться в ноль. Если равносильность шага зависит от знака или ОДЗ, установите это до преобразования. При переходе к следствию обязательно сохраните исходное уравнение для итоговой проверки.
Ответ: x = 4.
Ответ: x = 2.
Ответ: x = 3.
Делят обе части на выражение, не проверив, может ли оно быть нулём. Так можно потерять корень, при котором делитель равен нулю: после деления этот случай уже не рассматривается. Перед делением найдите нули выражения и проверьте их в исходном уравнении.
Умножают на выражение с переменной и считают преобразование равносильным без проверки его нулей. Если множитель обращается в ноль, равенство после умножения может выполниться при значении, не подходящем исходному уравнению. Проверьте найденные корни и отдельно исследуйте нули множителя.
Возводят обе части в квадрат, а затем принимают все решения нового уравнения за ответ. При этом забывают, что числа с разными знаками могут иметь одинаковые квадраты. Подставьте каждого кандидата в исходное уравнение и исключите неподходящие значения.
Считают уравнения равносильными, если у них совпадает только часть корней. Это ошибка, потому что равносильность требует совпадения всех решений, а не наличия общего корня. Для самопроверки сравните множества решений в обоих направлениях.
Для работы с равносильностью нужны понятия корня уравнения и области допустимых значений (ОДЗ) — значений переменной, при которых выражения имеют смысл. Правила равносильных преобразований помогают решать рациональные, иррациональные и показательные уравнения, в каждом из которых есть свои ограничения. Позже они пригодятся при решении систем: нужно следить, сохраняют ли преобразования исходные решения. Тот же контроль важен при доказательстве, что новый вид задачи действительно соответствует исходному.
Чем равносильные уравнения отличаются от уравнений, имеющих хотя бы один общий корень?
У равносильных уравнений полностью совпадают множества решений: каждый корень первого является корнем второго, и наоборот. Общий корень может быть только одним из нескольких решений, поэтому его наличие не означает равносильность.
Всегда ли можно умножить обе части уравнения на выражение с переменной?
Можно, но если выражение обращается в ноль, преобразование может добавить корни. Нужно отдельно рассмотреть его нули или убедиться, что на рассматриваемой области оно ненулевое.
Почему при делении на выражение нужно отдельно рассматривать случай, когда оно равно нулю?
Деление на ноль не определено, поэтому преобразование допустимо только там, где делитель ненулевой. Если делитель может быть нулём, соответствующие значения проверяют отдельно в исходном уравнении: среди них может оказаться корень.
Когда возведение обеих частей уравнения в квадрат сохраняет равносильность?
Оно равносильно, если обе части заранее неотрицательны: тогда равенство квадратов означает равенство самих чисел. Если знаки не установлены, после возведения в квадрат могут появиться кандидаты, которые нужно проверить в исходном уравнении.
Зачем проверять корни в исходном уравнении после преобразований?
Некоторые преобразования сохраняют только направление от исходных корней к новым, но могут добавить посторонние значения. Подстановка в исходное уравнение позволяет исключить такие значения и подтвердить ответ.
§ 23. Равносильность уравнений
