§ 15. Дифференцирование показательной и логарифмической функций

Определения и обозначения

Производная показательной функции y = aˣ при a > 0 и a ≠ 1 задаётся формулой y' = aˣ ln a. Она показывает скорость изменения функции в каждой точке. Множитель ln a зависит от основания, поэтому его нельзя опускать.

Для функции y = eˣ производная имеет вид (eˣ)' = eˣ. Это частный случай формулы для aˣ: основанием служит число e, а ln e = 1. Поэтому значение производной в каждой точке совпадает со значением функции.

Производная натурального логарифма равна (ln x)' = 1/x при x > 0. Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, а условие на x задаёт область, где он определён. Эта формула нужна для дифференцирования выражений с ln x.

Для логарифма по основанию a действует формула (logₐ x)' = 1/(x ln a), если a > 0, a ≠ 1 и x > 0. Основание не может быть единицей, а аргумент должен быть положительным. Формула позволяет находить производные логарифмов с любым допустимым основанием.

Как это устроено

По определению производной рассматривают отношение приращения функции к приращению аргумента и затем находят его предел. Для aˣ приращение функции записывается как aˣ⁺ʰ − aˣ = aˣ(aʰ − 1). После деления на h множитель aˣ остаётся перед пределом (aʰ − 1)/h, а этот предел равен ln a. Отсюда получается (aˣ)' = aˣ ln a: ln a отражает, насколько основание влияет на скорость роста или убывания.

Число e выделяется среди оснований не произвольно: для него ln e = 1. Подстановка a = e в общую формулу даёт (eˣ)' = eˣ · 1 = eˣ. Поэтому при дифференцировании экспоненты не появляется дополнительный множитель, если её показатель — просто x. У других оснований такой множитель обычно сохраняется.

Формулу для ln x можно получить из обратности функций y = eˣ и y = ln x. Для взаимно обратных функций производные связаны: производная обратной функции в точке равна единице, делённой на производную исходной функции в соответствующей точке. Если x = eʸ, то производная eʸ равна eʸ = x, поэтому (ln x)' = 1/x. При этом ln x определён только для x > 0, и формула производной действует на этой области.

Логарифм по основанию a переходим к натуральному: logₐ x = ln x / ln a. Поскольку ln a — постоянное ненулевое число, производная равна (1/x)/ln a, то есть 1/(x ln a). Условия a > 0 и a ≠ 1 нужны для существования основания логарифма и ненулевого знаменателя. Условие x > 0 требуется для самого логарифма.

Если показатель или аргумент — выражение u(x), применяется правило производной сложной функции: производную внешней функции умножают на производную внутренней. Поэтому (eᵘ)' = eᵘu', (aᵘ)' = aᵘ ln a · u', а (ln u)' = u'/u при u > 0. Сначала полезно определить внешнюю функцию, затем отдельно продифференцировать её аргумент. Для логарифма дополнительно проверяют положительность этого аргумента.

Производные показательных и логарифмических функций

Сначала найдите нужную строку по виду функции, затем проверьте условия на основание и аргумент. Если внутри стоит выражение u(x), используйте производную сложной функции и умножьте на u'(x). Область определения функции проверяйте до вычислений, особенно когда встречается логарифм.

Разбор задач

Найдите производную функции y = 3ˣ.

1. Узнаём показательную функцию aˣ, где a = 3. Основание положительно и не равно единице, значит, формула применима.
2. Записываем (aˣ)' = aˣ ln a и подставляем основание 3. Получаем y' = 3ˣ ln 3.
3. Проверяем, что множитель ln 3 сохранён: без него ответ соответствовал бы только основанию e.

Ответ: y' = 3ˣ ln 3.

Найдите производную функции y = ln(2x + 1) и укажите область определения.

1. Сначала находим область определения: аргумент логарифма должен быть положителен. Решаем 2x + 1 > 0 и получаем x > −½.
2. Обозначаем внутреннюю функцию u(x) = 2x + 1; тогда u'(x) = 2. Применяем правило (ln u)' = u'/u.
3. Подставляем выражения: y' = 2/(2x + 1). Формула действует при x > −½, то есть на области определения исходной функции.

Ответ: область определения: x > −½; y' = 2/(2x + 1).

Найдите производную функции y = 2⁽ˣ²⁻¹⁾ · ln(3x), укажите область определения.

1. Логарифм требует 3x > 0, откуда x > 0. Показательная функция определена для любого действительного показателя, поэтому дополнительных ограничений нет.
2. Это произведение двух функций. Обозначим f(x) = 2⁽ˣ²⁻¹⁾ и g(x) = ln(3x), тогда y' = f'g + fg'.
3. Для первой функции используем правило цепочки: f' = 2⁽ˣ²⁻¹⁾ ln 2 · 2x. Для второй получаем g' = 3/(3x) = 1/x.
4. Подставляем производные в правило произведения: y' = 2⁽ˣ²⁻¹⁾ · 2x ln 2 · ln(3x) + 2⁽ˣ²⁻¹⁾/x. Производная рассматривается при x > 0.

Ответ: область определения: x > 0; y' = 2⁽ˣ²⁻¹⁾(2x ln 2 · ln(3x) + 1/x).

Типичные ошибки

Ошибка: записывать (aˣ)' = aˣ для любого основания. Так переносят формулу для eˣ на все показательные функции, хотя при другом основании появляется множитель ln a. Сверьте основание с числом e: если это не e, проверьте, что в ответе есть ln a.

В производной logₐ x иногда забывают ln a в знаменателе или подменяют logₐ x натуральным логарифмом. Причина — смешение логарифмов разных оснований; переход logₐ x = ln x/ln a помогает увидеть постоянный множитель. Проверьте результат дифференцированием этой дроби, учитывая, что ln a — константа.

При дифференцировании ln(u(x)) могут написать только 1/u(x), забыв производную внутреннего выражения. Это происходит, когда сложный аргумент принимают за обычную переменную. Вычислите отдельно u'(x), а затем убедитесь, что ответ имеет вид u'(x)/u(x).

Ещё одна ошибка — не проверять область определения логарифма. Само правило дифференцирования не делает выражение допустимым там, где его аргумент равен нулю или отрицателен. Перед вычислением решите неравенство «аргумент > 0» и укажите найденные значения переменной.

Связь с другими темами

Для работы с формулами нужны определение производной, таблица производных и правило производной сложной функции. Без последнего нельзя корректно дифференцировать выражения с показателем или аргументом, зависящим от x. При произведении, как в третьем примере, дополнительно используют правило дифференцирования произведения.

Переход к новому основанию и свойства логарифмов помогают преобразовать выражение перед дифференцированием. В частности, logₐ x = ln x/ln a сводит формулу к производной натурального логарифма. Такое преобразование важно, когда логарифмы разных оснований нужно привести к удобному виду.

Производные показательных и логарифмических функций используют при исследовании функций. По знаку производной находят промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума. Эти результаты помогают решать задачи на оптимизацию, где требуется выбрать наибольшее или наименьшее значение.

Что запомнить

• (eˣ)' = eˣ.
• (aˣ)' = aˣ ln a при a > 0 и a ≠ 1.
• (ln x)' = 1/x при x > 0.
• (logₐ x)' = 1/(x ln a) при x > 0, a > 0 и a ≠ 1.
• Для сложного аргумента производную внешней функции умножают на производную внутренней.
• Перед дифференцированием логарифма проверьте, что его аргумент положителен.