"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Формула перехода к новому основанию позволяет выразить logₐ b через логарифмы с другим основанием: logₐ b = logс b / logс a. Это удобно, когда нужный логарифм нельзя вычислить напрямую, но можно найти логарифмы с основанием 10 или e — например, на калькуляторе. Выбор основания зависит от задачи. При преобразованиях важно следить за областью допустимых значений и не путать числитель со знаменателем.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Основание логарифма — число a в записи logₐ b; для логарифма оно должно быть положительным и не равным 1. Число b называют аргументом, и оно тоже должно быть положительным. Эти условия нужны, чтобы логарифм был определён как показатель степени: aˣ = b. Если хотя бы одно условие нарушено, применять формулы для logₐ b нельзя.
Формула перехода к новому основанию — равенство logₐ b = logс b / logс a, позволяющее выразить логарифм через логарифмы с основанием c. Здесь c выбирают положительным и отличным от 1. Такая запись нужна, когда логарифм с исходным основанием вычислять неудобно, а логарифмы с другим основанием доступны. Например, на калькуляторе обычно можно найти lg и ln.
Натуральный логарифм — логарифм по основанию e, обозначаемый ln x. Число e — положительная математическая константа, приблизительно равная 2,718. Обозначение ln x короче записи logₑ x и часто встречается в формулах и вычислениях. Натуральный логарифм определён только при x > 0.
Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10, обозначаемый lg x. Например, lg 100 = 2, поскольку 10² = 100. Это обозначение удобно при переходе к основанию 10 и вычислениях на калькуляторе. Как и у любого логарифма, аргумент x должен быть положительным.
Вывод формулы начинается с определения логарифма. Обозначим logₐ b через x; тогда равенство x = logₐ b означает, что aˣ = b. Теперь применим к обеим частям логарифм по основанию c: так мы переведём равенство степеней в выражение, содержащее x. Получим logс(aˣ) = logс b, а по свойству логарифма степени левая часть равна x logс a.
Из равенства x logс a = logс b выразим x делением на logс a. Это деление допустимо: logс a не равен нулю, потому что logс a = 0 означало бы a = 1, а исходное основание таким быть не может. Подставляя обратно x = logₐ b, получаем logₐ b = logс b / logс a. Помимо этого, должны существовать все логарифмы в правой части: поэтому a > 0, b > 0, c > 0, а a и c не равны 1.
В роли c можно взять любое положительное число, кроме 1. Причина выбора не меняет значение исходного логарифма: дробь логарифмов по допустимому основанию всегда равна logₐ b. Однако разные основания могут дать вычисления разной сложности. Поэтому полезно выбирать такое c, при котором оба логарифма в дроби легко найти или выразить.
Если взять c = 10, то логарифмы с основанием 10 обозначаются lg, и формула принимает вид logₐ b = lg b / lg a. Если взять c = e, получаем logₐ b = ln b / ln a. В обоих случаях исходный логарифм заменяется отношением двух логарифмов, которые обычно доступны на калькуляторе. При этом аргументы и основание исходного логарифма должны удовлетворять тем же условиям, что и прежде.
Из общей формулы получаются два полезных следствия. При переходе к основанию a имеем logₐ b = logₐ b / logₐ a = logₐ b / 1, а при переходе к основанию b — logₐ b = 1 / logᵦ a; для второго равенства оба числа a и b должны быть допустимыми основаниями. Кроме того, logₐ b · logᵦ c = (logс b / logс a) · (logс c / logс b) = logс c / logс a = logₐ c. Здесь a и b положительны и не равны 1, c положительно, а общий логарифм logс b определён и отличен от нуля, если при таком выводе сокращается; итоговое равенство остаётся верным и при c = 1.
| Ситуация | Формула | Условия |
|---|---|---|
| Общий переход к основанию c | logₐ b = logс b / logс a | a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1 |
| Переход к десятичному логарифму | logₐ b = lg b / lg a | a > 0, a ≠ 1, b > 0 |
| Переход к натуральному логарифму | logₐ b = ln b / ln a | a > 0, a ≠ 1, b > 0 |
| Взаимно обратные логарифмы | logₐ b = 1 / logᵦ a | a > 0, b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1 |
| Цепочка логарифмов | logₐ b · logᵦ c = logₐ c | a, b, c > 0; a ≠ 1, b ≠ 1 |
Сначала выберите строку, которая соответствует задаче, затем проверьте условия в последнем столбце. Если вычисление не получается напрямую, попробуйте заменить исходное основание на 10, e или основание, связанное с числами задачи. В формулах обратных логарифмов и цепочки особенно важно проверить допустимость каждого основания и аргумента.
Задача 1. Вычислить log₂ 8, представив его через десятичные логарифмы. Основание 2 и аргумент 8 положительны, а основание не равно 1, поэтому логарифм определён. Переход к основанию 10 удобен тем, что позволяет записать выражение через lg. После преобразования найдём значение полученной дроби.
Применим формулу перехода с c = 10: log₂ 8 = lg 8 / lg 2.
Так как 8 = 2³, получаем lg 8 = lg(2³) = 3 lg 2.
Подставим это в дробь: (3 lg 2) / lg 2 = 3. Сокращение допустимо, потому что lg 2 ≠ 0: иначе было бы 2 = 1.
Ответ: 3.
Задача 2. Вычислить log₄ 8, используя переход к основанию 2. Выбираем именно 2, потому что и 4, и 8 — его степени, а соответствующие логарифмы легко найти. По формуле перехода исходный логарифм станет отношением log₂ 8 и log₂ 4. Затем вычислим каждую часть отдельно.
Запишем переход: log₄ 8 = log₂ 8 / log₂ 4.
Найдём числитель: log₂ 8 = 3, так как 2³ = 8. Найдём знаменатель: log₂ 4 = 2, так как 2² = 4.
Разделим значения: 3 / 2 = 1,5. Проверка по определению подтверждает результат: 4¹·⁵ = 8.
Ответ: 1,5.
Задача 3. Решить уравнение log₃ x = 2 / log₅ 3. Справа стоит отношение, которое можно упростить по формуле взаимно обратных логарифмов. После этого уравнение будет иметь одинаковое основание у логарифма и у показательной записи. Область допустимых значений исходного выражения требует x > 0.
Представим правую часть как 2 · (1 / log₅ 3). По формуле взаимно обратных логарифмов 1 / log₅ 3 = log₃ 5, поэтому получаем log₃ x = 2 log₃ 5.
Используем свойство log₃ 5² = 2 log₃ 5. Тогда log₃ x = log₃ 25, откуда x = 25, поскольку логарифмическая функция с основанием 3 принимает каждое значение только при одном аргументе.
Проверим ОДЗ: x = 25 положительно, а исходный логарифм log₃ x определён. Логарифм log₅ 3 тоже определён, поскольку 5 > 0, 5 ≠ 1 и 3 > 0.
Ответ: 25.
В формуле logₐ b = logс b / logс a иногда меняют местами числитель и знаменатель. Тогда получается обратное значение, потому что в числителе должен стоять логарифм аргумента b, а в знаменателе — логарифм исходного основания a. Ошибка возникает, если запомнить формулу как дробь без связи с её выводом. Проверьте себя: при подстановке x = logₐ b должно получиться x logс a = logс b.
Другая ошибка — выбрать основание перехода c, равное нулю, отрицательному числу или единице. Так появляются логарифмы, которые не определены, хотя вычисления дальше могут выглядеть убедительно. Перед применением формулы отдельно проверьте условия c > 0 и c ≠ 1. То же правило относится к основаниям всех логарифмов, возникающих в преобразовании.
Иногда забывают проверить положительность аргумента исходного логарифма. Например, запись logₐ b требует b > 0 независимо от того, насколько удобно выглядит формула перехода. Причина ошибки — внимание только к основаниям. Сначала выпишите ограничения для аргументов и оснований, а затем выполняйте преобразования.
Нельзя сокращать или переставлять логарифмы с разными основаниями так, словно это обычные дроби. Например, выражения log₂ 8 и log₃ 8 не являются дробями с одинаковыми единицами измерения, поэтому сокращение между ними не обосновано. Для безопасного преобразования сначала примените формулу перехода к одному основанию и проследите, что именно стоит в числителе и знаменателе. Если равенство не следует из формулы или свойства логарифма, такое сокращение недопустимо.
Для работы с переходом к новому основанию нужны определение логарифма и его основные свойства. Особенно важно помнить условия существования logₐ b: a > 0, a ≠ 1 и b > 0. Эти ограничения помогают не только правильно преобразовывать выражения, но и находить область допустимых значений уравнений. Без них можно получить формально верное преобразование, неприменимое к исходной задаче.
Формула перехода полезна при вычислениях на калькуляторе, который обычно содержит клавиши lg и ln, а также при сравнении логарифмических выражений. В уравнениях она позволяет привести логарифмы к общему основанию и использовать определение логарифма. Следствия формулы помогают упрощать произведения и отношения логарифмов. Поэтому этот приём связывает вычисления с преобразованием выражений и решением уравнений.
Зачем нужен переход к новому основанию логарифма?
Он позволяет выразить логарифм через более удобные логарифмы, например десятичные или натуральные. Это помогает вычислять значения на калькуляторе, сравнивать выражения и преобразовывать уравнения.
Как не перепутать числитель и знаменатель в формуле перехода?
В формуле logₐ b = logс b / logс a аргумент b остаётся в числителе, а исходное основание a — в знаменателе. Можно проверить расположение: в знаменателе стоит логарифм, который появляется при логарифмировании основания исходного логарифма.
Можно ли выбрать для перехода любое основание?
Можно выбрать любое положительное c, не равное 1. На практике выбирают основание, при котором вычисления проще, например 10, e или число, связанное с аргументом и основанием.
Почему логарифм можно выразить через lg или ln?
Десятичный и натуральный логарифмы — это обычные логарифмы с основаниями 10 и e. Поэтому в общей формуле перехода достаточно взять c = 10 или c = e.
Как связаны log_a b и log_b a?
Если оба логарифма определены, то они взаимно обратны: logₐ b = 1 / logᵦ a. Это следует из формулы перехода, если в числителе и знаменателе использовать одно и то же основание.
§ 14. Переход к новому основанию логарифма
