"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Логарифмическое неравенство — это неравенство, в котором неизвестная находится в аргументе или основании логарифма. Такие неравенства помогают находить значения переменной, при которых одно логарифмическое выражение больше или меньше другого. Решение начинают с проверки области допустимых значений: аргументы должны быть положительными, а основания — положительными и не равными 1. Затем учитывают, возрастает или убывает логарифмическая функция, преобразуют неравенство и проверяют ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифмическое неравенство — неравенство, в котором неизвестная входит в аргумент или основание логарифма. Например, log₂(x − 1) > 3 содержит неизвестную в аргументе. Такие неравенства позволяют найти все значения переменной, при которых сравниваемые выражения находятся в нужном отношении.
ОДЗ логарифмического выражения — множество значений неизвестной, при которых каждый аргумент логарифма положителен, а каждое основание положительно и не равно 1. Это следует из определения логарифма: он существует только для положительного аргумента и допустимого основания. ОДЗ отсекает значения, которые нельзя включать в ответ.
Равносильные логарифмические неравенства — неравенства с одинаковыми решениями. При преобразовании важно учитывать, возрастает или убывает логарифмическая функция: от этого зависит, сохранится ли знак. Понятие равносильности помогает отличить безопасный переход от такого, который может изменить множество решений.
Метод интервалов — способ решить неравенство, разбив числовую прямую нулями выражения и точками, где оно не определено. На каждом промежутке знак выражения постоянен, поэтому достаточно определить его в одной точке. Этот метод часто применяют после преобразования логарифмического неравенства к произведению или дроби.
Решение начинают с ОДЗ: для каждого логарифма записывают условие положительности аргумента, а для основания — условие a > 0 и a ≠ 1. Это необходимо не только для исходного выражения: преобразования могут привести к обычному неравенству, у которого решений больше, чем у исходного. Поэтому ОДЗ сохраняют и учитывают в конце.
Логарифмы с одинаковым основанием можно сравнить по аргументам, потому что функция y = logₐ x монотонна на всей своей области определения. Монотонность означает, что порядок значений функции согласован с порядком аргументов или строго обратен ему. Перед сравнением нужно убедиться, что оба аргумента положительны и основание действительно одно и то же.
При a > 1 логарифмическая функция возрастает: если аргумент увеличивается, увеличивается и значение логарифма. Поэтому переход от logₐ f(x) > logₐ g(x) к f(x) > g(x) сохраняет знак. При 0 < a < 1 функция убывает, и порядок значений обращается, поэтому знак неравенства при переходе к аргументам меняют на противоположный.
Неравенство logₐ f(x) > c можно заменить сравнением f(x) с aᶜ, поскольку число aᶜ — аргумент, логарифм которого по основанию a равен c. При a > 1 получаем f(x) > aᶜ, а при 0 < a < 1 — f(x) < aᶜ. Затем решают полученное неравенство и оставляют только значения, для которых исходный аргумент f(x) положителен.
Если основания различаются или сами зависят от x, нельзя просто сравнить аргументы: функции могут иметь разное поведение, а переменное основание может менять его при переходе через 1. Сначала исследуют ОДЗ и значения основания, а затем выбирают подходящее преобразование. Иногда помогает замена переменной; после неё выражение может свестись к неравенству, которое решают методом интервалов.
| Случай | Поведение функции y = logₐ x | Переход от logₐ f(x) > logₐ g(x) |
|---|---|---|
| Условия для основания: a > 1 | Функция возрастает | Знак неравенства сохраняется |
| Условия для основания: 0 < a < 1 | Функция убывает | Знак неравенства меняется |
| Направление преобразования при a > 1 | Аргументы сравниваются в том же порядке | f(x) > g(x) |
| Направление преобразования при 0 < a < 1 | Порядок аргументов обращается | f(x) < g(x) |
| Общее условие для аргументов | Оба аргумента должны быть положительными | f(x) > 0 и g(x) > 0 |
Сначала найдите строку, которая соответствует основанию, и установите, возрастает функция или убывает. Затем проверьте положительность обоих аргументов и примените указанное направление сравнения. Если основание зависит от x, одного выбора строки недостаточно: сначала нужно определить его допустимые значения.
Решим log₂(x − 1) > 3. Сначала нужно обеспечить существование логарифма, затем заменить сравнение с числом сравнением аргумента со степенью основания. Поскольку 2 > 1, функция возрастает, и знак при переходе сохраняется.
Теперь решим log₁⁄₃(2x + 1) ≤ log₁⁄₃(x + 5). Здесь основание находится между 0 и 1, поэтому функция убывает. Кроме сравнения аргументов необходимо отдельно учесть оба условия существования логарифмов.
Решим log₂(x − 1) + log₂(x + 2) > 2. Сначала ограничим допустимые значения, а затем объединим логарифмы с одинаковым основанием. Положительность аргументов при объединении обязательна, поэтому ОДЗ нельзя заменять условием для произведения.
Не записывать ОДЗ — значит рисковать включить в ответ значения, при которых исходный логарифм не существует. Эту ошибку допускают, когда сосредоточиваются на алгебраическом преобразовании. Проверка проста: выпишите условия для каждого аргумента и основания до решения, а затем пересеките с ними итоговый ответ.
При основании 0 < a < 1 иногда оставляют знак неравенства без изменения. Причина в том, что правило для возрастающей функции переносят на убывающую. Чтобы проверить себя, определите положение основания относительно 1; для убывающей функции порядок аргументов при сравнении обязательно обращается.
Сравнение аргументов логарифмов с разными основаниями напрямую недопустимо. Такой переход кажется естественным, если аргументы похожи, но поведение логарифмов задают ещё и основания. Перед сравнением проверьте, совпадают ли основания; если нет, исследуйте выражения отдельно и не применяйте правило для одинакового основания.
После возведения в степень или объединения логарифмов могут забыть проверить результат по исходной ОДЗ. Тогда сохраняются значения, которые появились только из-за преобразования и не подходят исходной задаче. Самопроверка: подставьте найденный промежуток в условия существования каждого исходного логарифма, а не только в последнюю формулу.
Для начала нужно знать определение логарифма, условия существования логарифмического выражения и свойства возрастающих и убывающих функций. Они объясняют, почему основание определяет направление перехода к аргументам. При вычислениях применяются свойства степеней и логарифмов, а также методы решения линейных, квадратных и дробно-рациональных неравенств.
Логарифмические неравенства встречаются вместе с показательными: тогда могут потребоваться преобразования обеих частей и анализ нескольких условий сразу. Эти приёмы также используют при исследовании функций, например, чтобы определить, где функция положительна или больше заданного числа. Навык аккуратно работать с ОДЗ помогает не терять и не добавлять решения.
Зачем записывать ОДЗ, если после преобразований получено обычное неравенство?
ОДЗ задаёт значения, при которых исходные логарифмы вообще существуют. Преобразованное неравенство иногда допускает дополнительные значения, поэтому в конце нужно оставить только те, что входят в ОДЗ.
Почему при основании между 0 и 1 знак неравенства меняется?
При 0 < a < 1 функция y = logₐ x убывает: большему аргументу соответствует меньшее значение логарифма. Поэтому при переходе от сравнения логарифмов к сравнению аргументов знак меняют на противоположный.
Можно ли сравнивать аргументы логарифмов с разными основаниями?
Напрямую — нет: сравнение логарифмов по аргументам работает, когда основания одинаковы и удовлетворяют условиям существования. При разных основаниях нужно отдельно исследовать выражения или преобразовать задачу другим способом.
Как решать неравенство, если в нём несколько логарифмов?
Сначала находят ОДЗ для каждого логарифма. Затем, если основания одинаковы, применяют свойства логарифмов, объединяют выражения или переносят их в одну часть, после чего решают полученное неравенство с учётом ОДЗ.
Нужно ли проверять найденные значения по ОДЗ?
Да. Ответом могут быть только значения из области допустимых значений исходного неравенства, даже если преобразованное неравенство имеет более широкое множество решений.
§ 13. Логарифмические неравенства
