"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Логарифмическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная входит в аргумент или основание логарифма. Такие уравнения встречаются в задачах, где нужно найти показатель степени, а их решение опирается на определение логарифма и его свойства. Главное правило — сначала установить область допустимых значений (ОДЗ), а затем преобразовывать уравнение. После решения обязательно проверьте, подходят ли найденные числа исходному условию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная входит в аргумент или основание логарифма. Например, в log₂(x − 1) = 3 неизвестная находится в аргументе. Если же логарифм лишь обозначает заранее известное число, а неизвестная в него не входит, уравнение не становится логарифмическим.
Область допустимых значений (ОДЗ) — все значения неизвестной, при которых выражения уравнения имеют смысл. Для логарифма необходимо, чтобы его аргумент был положительным, а основание — положительным и не равным единице. ОДЗ помогает отсеять значения, при которых исходное уравнение не определено.
Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же набором решений. При преобразованиях важно сохранять равносильность на ОДЗ, потому что вне неё исходное логарифмическое выражение не имеет смысла. Если преобразование не равносильно, результат нужно дополнительно проверить.
Посторонний корень — найденное при решении значение, которое не удовлетворяет исходному уравнению или его ОДЗ. Он может появиться, если забыть об ограничениях логарифма либо выполнить неравносильный переход. Проверка корней позволяет не включить такое значение в ответ.
Решение начинают с ОДЗ, потому что логарифм определён только при положительном аргументе. Если неизвестная входит в основание, дополнительно записывают, что оно должно быть больше нуля и не равно единице. Эти условия задают допустимые значения ещё до преобразований. Например, в logₐ f(x) требуются f(x) > 0, a > 0 и a ≠ 1.
Если логарифм с известным основанием равен числу, используют определение логарифма: logₐ f(x) = b означает, что aᵇ = f(x). Поэтому уравнение превращается в показательное или алгебраическое, которое часто решать проще. Переход работает при a > 0 и a ≠ 1, а ответ всё равно должен удовлетворять ОДЗ исходного уравнения.
Если логарифмы с одним основанием равны, их аргументы равны: logₐ f(x) = logₐ g(x) даёт f(x) = g(x). Причина в том, что логарифмическая функция с основанием a > 0, a ≠ 1 принимает каждое допустимое значение только при одном аргументе. Поэтому равенство логарифмов означает равенство аргументов, но оба аргумента должны быть положительными. Полученное уравнение решают совместно с условиями ОДЗ.
Сумму или разность логарифмов с одним основанием можно объединить по свойствам: logₐ u + logₐ v = logₐ(uv), а logₐ u − logₐ v = logₐ(u/v). Эти свойства выведены для положительных аргументов, поэтому до объединения устанавливают u > 0 и v > 0. Затем уравнение сводят к одному логарифму и применяют определение или другой подходящий способ решения.
Не каждое преобразование сохраняет равносильность на всей числовой прямой: например, после избавления от логарифмов ограничения исходного уравнения могут исчезнуть. Поэтому уравнение, полученное на промежуточном шаге, иногда имеет лишние корни. В конце каждый найденный кандидат сверяют с ОДЗ и подставляют в исходное равенство. Только значения, прошедшие проверку, записывают в ответ.
| Вид уравнения | Основной переход | Что проверить |
|---|---|---|
| logₐ f(x) = b | f(x) = aᵇ | ОДЗ исходного уравнения |
| logₐ f(x) = logₐ g(x) | f(x) = g(x) | f(x) > 0 и g(x) > 0 |
| Сумма или разность логарифмов с одним основанием | Объединить логарифмы по их свойствам | Положительность всех исходных аргументов |
| Уравнение после преобразований | Решить полученное уравнение и отобрать корни | Подстановка корней в исходное уравнение |
Сначала определите, к какой строке таблицы относится уравнение, и выпишите нужные условия ОДЗ. Затем выполните указанный переход и решите полученное уравнение обычными алгебраическими приёмами. В завершение проверьте найденные значения: таблица напоминает, какое условие нельзя упустить.
Задача 1. Решить уравнение log₂(x − 1) = 3. Здесь логарифм равен числу, поэтому можно перейти к показательной записи. Но сначала найдём, при каких x исходный логарифм существует. После решения сравним корень с этим условием.
Ответ: x = 9.
Задача 2. Решить уравнение log₃(x + 1) = log₃(7 − x). Основания логарифмов одинаковы, поэтому можно приравнять аргументы. Одновременно учтём, что оба аргумента должны быть положительными. Это позволит проверить, что найденное значение подходит исходному уравнению.
Ответ: x = 3.
Задача 3. Решить уравнение log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3. Здесь два логарифма с одинаковым основанием, значит, сумму можно объединить. Сначала выясним, когда определены оба слагаемых, а затем решим получившееся уравнение. Если при решении появятся два корня, оставим только допустимый.
Ответ: x = 3.
Не записывают ОДЗ до преобразований и получают значение, при котором аргумент равен нулю или отрицателен. Так поступают, когда воспринимают логарифм как обычное выражение и забывают об условиях его существования. Проверяйте каждый аргумент отдельно и включайте все неравенства в ОДЗ.
Приравнивают аргументы логарифмов с разными основаниями. Такой вывод делают по знакомому правилу, не замечая, что оно основано на одинаковом основании логарифмов. Перед переходом сравните основания и убедитесь, что каждое из них положительно и не равно единице.
Объединяют логарифмы, не проверив положительность аргументов. Свойство суммы или разности применимо лишь там, где исходные логарифмы определены. Выпишите условия для всех аргументов до объединения, а затем проверьте, что корни им удовлетворяют.
Принимают все корни преобразованного уравнения без проверки. Причина в том, что после преобразований ограничения исходной записи могут потеряться. Подставьте кандидаты в исходное уравнение и исключите значения вне ОДЗ или те, при которых равенство неверно.
Для решения нужны определение логарифма, его свойства и условия существования: они объясняют переходы и задают ОДЗ. Также пригодятся навыки решения показательных и алгебраических уравнений, ведь к ним часто сводится логарифмическое уравнение. Позже те же приёмы помогут при изучении логарифмических неравенств и смешанных показательно-логарифмических задач. В таких заданиях особенно важны ограничения на аргументы и основания.
Зачем находить ОДЗ, если потом можно проверить ответ?
ОДЗ сразу показывает, какие значения вообще могут быть решениями: аргумент логарифма должен быть положительным. Благодаря этому проще выбирать равносильные преобразования и не тратить время на заведомо неподходящие корни. Проверка в конце всё равно нужна.
Можно ли сразу приравнять аргументы двух логарифмов?
Можно, если логарифмы имеют одинаковое основание, причём оно положительно и не равно единице. До приравнивания аргументов нужно учесть ОДЗ: оба аргумента должны быть положительными. При разных основаниях такой переход не действует.
Когда сумму логарифмов можно объединить в один?
Если у логарифмов одно и то же допустимое основание, а их аргументы положительны, сумму можно заменить логарифмом произведения аргументов. Например, logₐ u + logₐ v = logₐ(uv). Условия положительности нужны и для исходного выражения, и для применения свойства.
Почему преобразование логарифмического уравнения может дать лишние корни?
Некоторые действия выполняют без учёта ОДЗ или заменяют исходное уравнение следствием, которое имеет более широкий набор решений. Тогда среди корней преобразованного уравнения могут оказаться числа, при которых исходный логарифм не определён или равенство неверно. Такие значения называют посторонними.
Обязательно ли проверять найденные корни подстановкой?
Да, если при решении выполнялись преобразования, не сохраняющие равносильность на всей числовой прямой. Проверка подтверждает, что корень принадлежит ОДЗ и обращает исходное равенство в верное. Даже если корни сразу найдены в пределах ОДЗ, подстановка помогает избежать вычислительной ошибки.
§ 12. Логарифмические уравнения
