"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Логарифм помогает определить показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить заданное число. Свойства логарифмов связывают логарифмы произведения, частного и степени с более простыми выражениями, поэтому с их помощью удобно преобразовывать и вычислять выражения. Главное — применять правила только при допустимых значениях основания и аргументов. Отдельная формула позволяет заменить основание логарифма и выбрать более удобное для вычислений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифм произведения — это правило logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y. Оно применимо, когда a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0. Например, log₂(8 · 4) можно заменить суммой log₂ 8 + log₂ 4. Это удобно, когда отдельные множители легче подставить в определение логарифма.
Логарифм частного выражается формулой logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y. Основание должно быть положительным и не равным 1, а числитель и знаменатель — положительными. Вычитание возникает потому, что показатель степени для деления вычитается. Правило помогает преобразовать дробь под знаком логарифма.
Логарифм степени определяется равенством logₐ(xʳ) = r logₐ x. Для действительного показателя r требуется x > 0, а основание a должно удовлетворять условиям a > 0 и a ≠ 1. Показатель можно вынести перед логарифмом, что упрощает вычисления и преобразования. Например, log₃(3⁴) = 4log₃ 3.
Переход к новому основанию позволяет заменить logₐ x отношением логарифмов: logₐ x = log_c x / log_c a. Здесь x > 0, a > 0, a ≠ 1, c > 0 и c ≠ 1. Такое преобразование полезно, если новое основание удобнее для вычислений или доступно на калькуляторе. Логарифм основания и логарифм единицы равны соответственно logₐ a = 1 и logₐ 1 = 0.
Чтобы понять правило произведения, представим положительные x и y как степени одного основания a: x = aᵐ и y = aⁿ. Тогда xy = aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, потому что при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. По определению логарифма logₐ x = m, а logₐ y = n. Поэтому logₐ(xy) = m + n = logₐ x + logₐ y.
Для частного рассуждение такое же, но используется другое свойство степеней. Если x = aᵐ и y = aⁿ, то x/y = aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ при y > 0. Показатель степени частного равен разности показателей, значит logₐ(x/y) = m − n. Подставляя значения логарифмов числителя и знаменателя, получаем logₐ x − logₐ y.
В правиле степени сначала выразим x через основание логарифма: пусть x = aᵐ. Тогда xʳ = (aᵐ)ʳ = aᵐʳ, поскольку при возведении степени в степень показатели перемножаются. Следовательно, logₐ(xʳ) = mr = r logₐ x. Условие x > 0 важно для логарифма и для определения действительной степени xʳ при любом действительном r; кроме того, основание a должно быть положительным и не равным 1.
Для перехода к новому основанию c запишем x = cᵖ и a = cᑫ, где p = log_c x, q = log_c a. Из aᑫ = c следует, что a = cᑫ, а из этого представления получаем logₐ x = p/q. Значит, logₐ x = log_c x / log_c a. Основания a и c должны быть положительными и отличными от 1, а x — положительным, поэтому знаменатель log_c a определён и не равен нулю.
Любое из этих правил можно применять и в обратном направлении. Например, сумму logₐ x + logₐ y можно объединить в logₐ(xy), а разность logₐ x − logₐ y — в logₐ(x/y), если условия для аргументов выполнены. Множитель перед логарифмом можно перенести в показатель: r logₐ x = logₐ(xʳ) при x > 0. Выбирай направление, которое делает выражение проще, и не забывай проверять допустимость аргументов.
| Свойство | Формула | Условия |
|---|---|---|
| Логарифм произведения | logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y | a > 0, a ≠ 1; x > 0, y > 0 |
| Логарифм частного | logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y | a > 0, a ≠ 1; x > 0, y > 0 |
| Логарифм степени | logₐ(xʳ) = r logₐ x | a > 0, a ≠ 1; x > 0 |
| Переход к новому основанию | logₐ x = log_c x / log_c a | a > 0, a ≠ 1; c > 0, c ≠ 1; x > 0 |
| Логарифм основания и единицы | logₐ a = 1; logₐ 1 = 0 | a > 0, a ≠ 1 |
Сначала проверь условия в правом столбце, затем выбери формулу по виду выражения: произведение, частное или степень. Переход к новому основанию удобен, когда нужно привести логарифмы к общей основе или вычислить значение через известные логарифмы.
Вычислим log₂ 8 + log₂ 4. Здесь основание одинаковое, а числа 8 и 4 являются степенями двойки, поэтому можно решить задачу по определению. Можно также объединить сумму в логарифм произведения. Покажем оба шага преобразования, чтобы увидеть связь способов.
Ответ: 5.
Упростим log₃ 18 − log₃ 2 + 2log₃ 3. Основания одинаковые, поэтому разность первых двух логарифмов можно заменить логарифмом частного, а множитель 2 — внести в показатель степени. После этого объединим логарифмы и вычислим результат. Все аргументы положительны, значит преобразования допустимы.
Ответ: 4.
Вычислим log₄ 8, используя основание 2. При прямом обращении к определению пришлось бы искать показатель, в который нужно возвести 4, чтобы получить 8. Переход к основанию 2 позволяет выразить и числитель, и знаменатель через степени двойки. В результате получим дробь, значение которой можно определить точно.
Ответ: 3/2.
Ошибка: считать, что logₐ(x + y) = logₐ x + logₐ y. Её допускают, перенося правило произведения на сумму, хотя свойства степеней дают сложение показателей именно при умножении. Проверка на простых числах выявляет ошибку: log₂(1 + 1) = 1, а log₂ 1 + log₂ 1 = 0. Применяй правило суммы логарифмов только к произведению аргументов.
Ошибка: использовать свойства, не проверив область допустимых значений. Легко забыть, что основание должно быть положительным и не равным 1, а аргумент — положительным. До преобразования проверь каждый логарифм и выражение внутри него; например, log₂(−3) не определён. Условия нужно проверять и после преобразований, если решается уравнение.
Ошибка: при логарифме частного поставить неверный знак или поменять числитель со знаменателем. Так бывает, если запомнить формулу без связи с делением степеней: показатель степени знаменателя вычитается. Для самопроверки возьми logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y и подставь числа, например 8 и 2 при основании 2. Получится 3 − 1 = 2, что совпадает с log₂ 4.
Ошибка: забыть условия для нового основания c в формуле перехода. Иногда считают, что можно выбрать любое число, хотя логарифм по основанию c существует только при c > 0 и c ≠ 1. Кроме того, исходное основание a также должно быть допустимым, а аргумент x — положительным. Перед подстановкой проверь обе основы и убедись, что знаменатель log_c a не равен нулю.
Для изучения свойств нужны определение логарифма и условия его существования: логарифм связан с показателем степени. Поэтому правила произведения, частного и степени опираются на свойства степеней, которые изучают раньше. Сами логарифмические свойства применяются при упрощении выражений, решении логарифмических уравнений и преобразовании формул. Умение объединять и раскладывать логарифмы помогает переходить к форме, удобной для вычислений или дальнейшего решения.
Почему логарифм произведения можно заменить суммой?
Если x = aᵐ и y = aⁿ, то xy = aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Значит, показатель степени для произведения равен сумме показателей, поэтому logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y.
Можно ли складывать логарифмы с разными основаниями?
Нельзя напрямую применять правило суммы для логарифмов с разными основаниями. Сначала можно выразить их через одно и то же допустимое основание по формуле перехода, а затем преобразовывать.
Верно ли, что logₐ(x + y) = logₐ x + logₐ y?
Нет, это неверно: правило суммы логарифмов относится к произведению аргументов, а не к их сумме. Например, log₂(1 + 1) = 1, тогда как log₂ 1 + log₂ 1 = 0.
Как применить свойство степени, если показатель отрицательный?
Если x > 0 и основание допустимо, правило сохраняется: logₐ(x⁻ⁿ) = −n logₐ x. Например, x⁻ⁿ = 1/xⁿ, а логарифм частного приводит к тому же знаку минус.
Как перейти от одного основания логарифма к другому?
Используй формулу logₐ b = log_c b / log_c a. Новое основание c должно быть положительным и не равным 1, а делитель log_c a не должен быть нулём; для этого a ≠ 1.
§ 11. Свойства логарифмов
