"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Логарифмическая функция y = logₐ x показывает, в какую степень нужно возвести основание a, чтобы получить x. Она обратна показательной функции y = aˣ, поэтому их графики симметричны относительно прямой y = x. Аргумент логарифма должен быть положительным, а основание — положительным и не равным 1. При a > 1 функция возрастает, а при 0 < a < 1 убывает. Эти свойства помогают строить графики и сравнивать значения без вычислений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b: logₐ b = c означает aᶜ = b. Здесь a > 0, a ≠ 1 и b > 0. Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. Такое определение позволяет заменить вопрос о логарифме вопросом о степени.
Основание логарифма — число a, записанное нижним индексом в logₐ x. Оно задаёт, какую показательную функцию нужно обратить, чтобы получить логарифмическую. Основание положительно, поскольку в школьном курсе рассматриваются вещественные степени положительного числа; оно не равно 1, потому что степени единицы не позволяют однозначно восстановить показатель.
Логарифмическая функция — функция y = logₐ x при a > 0 и a ≠ 1. Её аргумент x обязан быть положительным, поэтому при неположительном x значение функции в вещественных числах не существует. Это условие нужно проверять прежде, чем строить график или решать уравнение с логарифмом.
График логарифмической функции связан с графиком показательной функции y = aˣ: эти функции обратны друг другу. Обратные функции меняют местами аргумент и значение, поэтому соответствующие точки их графиков отражаются относительно прямой y = x. Эта связь помогает строить логарифмический график и объясняет его основные свойства.
Равенство y = logₐ x по определению означает, что a нужно возвести в степень y и получить x: aʸ = x. Например, если y = log₂ 8, то 2ʸ = 8, откуда y = 3. Такая запись переводит логарифмическую форму в показательную и обратно. Она особенно полезна при решении уравнений.
Область определения задаётся условием x > 0: положительная степень числа a при допустимом основании всегда даёт положительный результат, а отрицательное или нулевое значение получить нельзя. При этом показатель y может быть любым действительным числом. Поэтому логарифм может принимать любое вещественное значение, и область значений функции — все действительные числа.
Монотонность логарифма следует из монотонности показательной функции, обратной ему. Если a > 1, при увеличении показателя aˣ растёт, поэтому обратная функция y = logₐ x тоже возрастает. Если 0 < a < 1, показательная функция убывает, и обратная ей логарифмическая функция также убывает.
Чтобы построить график, отражают график y = aˣ относительно прямой y = x: координаты точек меняются местами. У показательной функции есть точки (0; 1) и (1; a), поэтому у логарифмической получаются точки (1; 0) и (a; 1). При x, приближающемся к нулю справа, логарифм неограниченно меняется, поэтому x = 0 — вертикальная асимптота; график её не пересекает.
Нуль функции находится из logₐ x = 0, то есть из a⁰ = x, откуда x = 1. Если a > 1, график возрастает и пересекает ось Ox в точке (1; 0): слева от неё значения отрицательны, справа положительны. Если 0 < a < 1, график убывает, поэтому при 0 < x < 1 значения положительны, а при x > 1 — отрицательны.
| Свойство | a > 1 | 0 < a < 1 |
|---|---|---|
| Область определения | x > 0 | x > 0 |
| Множество значений | Все действительные числа | Все действительные числа |
| Монотонность | Возрастает | Убывает |
| Нуль функции и пересечение с осью Ox | x = 1; точка (1; 0) | x = 1; точка (1; 0) |
| Знак функции при 0 < x < 1 и x > 1 | Отрицательна; положительна | Положительна; отрицательна |
| Вертикальная асимптота | x = 0 | x = 0 |
| Опорные точки графика | (1; 0), (a; 1) | (1; 0), (a; 1) |
Сначала определите, к какому случаю относится основание, затем найдите нужную строку. Для неравенств особенно важна монотонность: возрастающая функция сохраняет порядок, убывающая меняет его. Условия области определения проверяйте отдельно от остальных свойств.
Найдите область определения функции y = log₂(x − 3). Аргументом логарифма служит всё выражение x − 3, поэтому оно должно быть строго больше нуля. Равенство нулю не подходит: логарифм нуля не определён. Решим полученное условие.
Ответ: область определения — x > 3. Граничное значение 3 не включается, потому что при x = 3 аргумент логарифма равен нулю. Для проверки подставьте любое число больше 3: тогда x − 3 положительно.
Сравните log₃ 5 и log₃ 7, не вычисляя значения. Основание 3 больше 1, следовательно, функция y = log₃ x возрастает. У возрастающей функции большему аргументу соответствует большее значение. Поэтому сравниваем аргументы 5 и 7.
Ответ: log₃ 5 < log₃ 7. Вычислять сами логарифмы не нужно, поскольку монотонность сразу переносит сравнение аргументов на сравнение значений. Если бы основание лежало между 0 и 1, знак сравнения изменился бы на противоположный.
Постройте график y = log₁⁄₂ x и решите log₁⁄₂ x ≥ −1. Основание находится между 0 и 1, значит, график убывает. Для построения возьмём точки (1; 0) и (½; 1); ещё одна удобная точка — (2; −1), поскольку (½)⁻¹ = 2. График расположен только при x > 0 и приближается к прямой x = 0.
Ответ: 0 < x ≤ 2. На графике это участок от вертикальной асимптоты справа до точки (2; −1), включая последнюю точку. Проверка по монотонности подтверждает результат: при меньшем положительном x значение логарифма больше.
Первая ошибка — включать в область определения значение, при котором аргумент равен нулю. Её допускают, если условие положительности заменяют нестрогим неравенством. Проверка проста: подставьте границу в логарифм и убедитесь, что он определён; ноль внутри логарифма недопустим.
Вторая ошибка — считать логарифмическую функцию всегда возрастающей. Направление зависит от основания, и это легко упустить, запомнив только случай a > 1. Перед сравнением значений или решением неравенства проверьте основание: при 0 < a < 1 функция убывает, и знак неравенства при переходе к аргументам меняется.
Третья ошибка — разрешать основанию быть равным 1 или отрицательным. Такие значения не подходят для вещественной показательной функции, обратной логарифму: при основании 1 показатель не восстанавливается, а отрицательное основание нельзя возводить в произвольную вещественную степень. Запомните условия a > 0 и a ≠ 1 и проверяйте их до работы с выражением.
Четвёртая ошибка — считать, что график пересекает ось Oy в точке (0; 1), путая его с показательной функцией. У логарифма x = 0 не входит в область определения, а нуль функции получается при x = 1. Проверяйте точку пересечения подстановкой: logₐ 1 = 0, значит, пересечение с осью Ox — (1; 0).
Для работы с логарифмической функцией нужны понятия степени с действительным показателем и показательной функции. Равенство logₐ x = y читается через показательную форму aʸ = x, поэтому свойства логарифма опираются на свойства степени. Освоив область определения, монотонность и график, проще решать логарифмические уравнения и неравенства. Логарифмы также применяют в логарифмических шкалах, где большие диапазоны величин удобно описывать сжато.
Почему аргумент логарифма должен быть положительным?
Для положительного основания a показательную степень aʸ можно получить только положительной. Поэтому равенство aʸ = x возможно лишь при x > 0, и логарифм неположительного числа не определён в вещественных числах.
Почему основание логарифма не может быть равно 1?
При a = 1 любая степень равна 1: 1ʸ = 1. Поэтому для числа x, отличного от 1, нельзя подобрать показатель, а для x = 1 он не единственный. Основание должно быть также положительным.
Как определить, возрастает или убывает логарифмическая функция?
Смотрите на основание: при a > 1 функция y = logₐ x возрастает, а при 0 < a < 1 убывает. Это следует из того, что логарифмическая функция обратна показательной, у которой соответствующее направление монотонности.
Через какие точки проходит график y = logₐ x?
График проходит через точки (1; 0) и (a; 1), поскольку logₐ 1 = 0, а logₐ a = 1. При x = 0 функция не определена, поэтому пересечения с осью Oy нет.
Как связаны графики логарифмической и показательной функций?
Функции y = logₐ x и y = aˣ обратны друг другу. Поэтому их графики симметричны относительно прямой y = x: координаты каждой соответствующей точки меняются местами.
§ 10. Функция у = loga х, ее свойства и график
