"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Первообразная — функция, производная которой совпадает с заданной функцией. Поиск первообразных позволяет восстановить функцию по её производной и составляет основу интегрального исчисления. Если известна одна первообразная, то все остальные на том же промежутке получаются прибавлением произвольной постоянной. Для вычислений используют два правила: первообразную суммы находят по слагаемым, а постоянный множитель сохраняют перед первообразной.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Первообразная функции f на промежутке — это функция F, производная которой в каждой точке промежутка равна f: F′(x) = f(x). Например, для f(x) = 2x функцией-первообразной будет F(x) = x², потому что (x²)′ = 2x. Определение связывает задачу нахождения первообразной с уже знакомой задачей дифференцирования. Нужно найти такую функцию, которая при взятии производной вернёт исходную.
Семейство первообразных — все функции вида F(x) + C, где F — одна первообразная, а C — любое постоянное число. Например, для f(x) = 2x подходят x² + 1, x² − 5 и вообще x² + C. Это обозначение нужно, чтобы записать не один ответ, а сразу все функции с требуемой производной. Разные значения C дают разные функции семейства.
Правило умножения на постоянный множитель говорит: если U — первообразная функции f, то cU — первообразная функции cf, где c — постоянное число. Например, если U′(x) = cos x, то производная 4U равна 4cos x. Правило позволяет не искать первообразную коэффициента отдельно, а сохранить его перед результатом. При нахождении всех первообразных к выражению также добавляют C.
Правило нахождения первообразной суммы: если U′ = u и V′ = v, то U + V — первообразная суммы u + v. Так сложную функцию можно разделить на более простые части, для которых первообразные известны. Это правило, как и правило множителя, помогает использовать таблицу первообразных по отдельным элементам. В итоге слагаемые можно обработать независимо, а затем соединить результаты.
К любой первообразной F можно прибавить постоянную C, потому что производная постоянной равна нулю. По правилу дифференцирования суммы получаем (F(x) + C)′ = F′(x) + C′ = f(x) + 0 = f(x). Значит, прибавление C не меняет главное свойство первообразной. Поэтому запись одного выражения без + C обычно указывает только одну функцию из всего семейства.
На одном промежутке любые две первообразные одной функции отличаются только постоянной. Пусть F′(x) = f(x) и G′(x) = f(x); тогда производная разности равна (F − G)′ = F′ − G′ = f − f = 0. Функция с нулевой производной постоянна на промежутке, поэтому F − G = C. Условие об одном и том же промежутке существенно: оно позволяет применить этот вывод ко всей рассматриваемой области.
Правило суммы следует из линейности производной, то есть из свойства производной суммы равняться сумме производных. Если U′ = u и V′ = v, то (U + V)′ = U′ + V′ = u + v. Значит, сумма первообразных действительно возвращает исходную сумму при дифференцировании. При этом к полученной первообразной добавляют C, если требуется указать все варианты.
Правило постоянного множителя основано на формуле дифференцирования произведения функции на постоянную: (cU)′ = cU′. Если U′ = u, то (cU)′ = cu, следовательно, cU подходит для функции cu. Коэффициент нельзя терять: он остаётся перед найденной первообразной. Иначе производная ответа даст функцию с другим множителем.
Чтобы применить правила в обратном направлении, сначала разложите выражение на слагаемые и постоянные множители. Для каждой части подберите первообразную по известным формулам, а затем сложите результаты, сохраняя коэффициенты. Например, выражение 3x² + cos x рассматривают как сумму двух функций и находят первообразную каждой отдельно. В конце добавляют одну произвольную постоянную C и при необходимости проверяют ответ дифференцированием.
| Условие | Первообразная |
|---|---|
| F′(x) = f(x) | F(x) + C |
| f(x) = u(x) + v(x) | U(x) + V(x), где U′ = u и V′ = v |
| f(x) = c·u(x), где c — постоянная | c·U(x), где U′ = u |
| f(x) = c₁u₁(x) + … + cₙuₙ(x) | c₁U₁(x) + … + cₙUₙ(x) + C |
Сначала сравните исходную функцию с условиями в левом столбце и разложите её на сумму простых частей, если это необходимо. Затем найдите первообразную каждой части и перенесите её в правый столбец, сохраняя коэффициенты. Если требуется всё семейство первообразных, не забудьте добавить + C.
Задача 1. Найдите все первообразные функции f(x) = 3x². Здесь заданный множитель 3 можно вынести перед первообразной, а для x² нужно вспомнить формулу из таблицы: производная x³/3 равна x². После применения правил останется учесть произвольную постоянную.
Ответ: x³ + C, где C — произвольная постоянная. Проверка: (x³ + C)′ = 3x², значит, полученное семейство подходит.
Задача 2. Найдите все первообразные функции f(x) = 2x + cos x. Функция является суммой двух слагаемых, поэтому применяем правило суммы. Для первого слагаемого подходит x², а для второго — sin x, так как (sin x)′ = cos x.
Ответ: x² + sin x + C. При дифференцировании сумма даёт 2x + cos x, то есть исходную функцию.
Задача 3. Найдите первообразную функции f(x) = 4x³ − 3sin x + 2/x на промежутке x > 0. В выражении три слагаемых с постоянными коэффициентами, поэтому удобно найти первообразную каждого отдельно. На заданном промежутке ln x является первообразной 1/x, поскольку (ln x)′ = 1/x при x > 0.
Ответ: x⁴ + 3cos x + 2ln x + C, x > 0. Проверка даёт 4x³ − 3sin x + 2/x; условие x > 0 также позволяет использовать ln x без изменения области определения.
Если не записать + C, будет указана только одна первообразная, а не всё семейство. Так происходит, когда забывают, что константа может иметь любое значение и её производная равна нулю. Проверьте формулировку задания: если нужно найти все первообразные, постоянная обязательна. Если требуется просто одна первообразная, конкретный вариант без C допустим.
При интегрировании слагаемого иногда теряют постоянный множитель и получают неправильный коэффициент. Например, если функция равна 5cos x, её первообразная — 5sin x, а не sin x. Ошибку допускают, сосредоточившись на табличной части и забыв коэффициент перед ней. Для проверки продифференцируйте ответ: исходный множитель должен восстановиться.
При поиске первообразной тригонометрической функции можно перепутать знак или формулу: например, производная cos x равна −sin x, а не sin x. Обычно это происходит из-за механического запоминания таблицы без проверки. Найдите производную предполагаемого ответа и сравните её с исходной функцией. Если знак отличается, поправьте знак у первообразной.
Нельзя утверждать без оговорок, что любые две первообразные одной функции отличаются постоянной: речь идёт о первообразных на одном и том же промежутке. Ученик может упустить условие, что производная разности должна быть нулевой на всей рассматриваемой области. Поэтому сначала проверьте, где заданы обе функции и какой промежуток указан. Затем сравнивайте первообразные именно на этом промежутке.
Для работы с первообразными нужны определение производной, правила дифференцирования суммы и произведения функции на постоянную, а также таблица производных. Именно эти правила позволяют обосновать, почему сложение первообразных и сохранение множителей дают правильный результат. Табличные производные помогают быстро узнавать подходящую функцию. Полезно также уметь проверять вычисления обратным действием — дифференцированием.
Правила нахождения первообразных используют при вычислении неопределённых и определённых интегралов. Они также помогают восстанавливать функцию, если известна её производная, например в задачах о движении по заданной скорости. В таких задачах постоянная может определяться дополнительным условием. Поэтому умение находить первообразную становится основой для решения более сложных задач интегрального исчисления.
Почему к первообразной обязательно добавляют C?
Производная постоянного числа равна нулю, поэтому прибавление C не меняет производную функции. Запись + C показывает сразу всё семейство первообразных, а не только один его элемент.
Могут ли две первообразные одной функции отличаться не на постоянную?
На одном и том же промежутке — нет: производная разности двух первообразных равна нулю, значит, разность постоянна. Для этого важно, чтобы обе функции рассматривались на одном промежутке.
Можно ли находить первообразную суммы по частям?
Да, первообразную суммы находят, складывая первообразные слагаемых. Затем к полученному выражению добавляют произвольную постоянную.
Что происходит с постоянным множителем при нахождении первообразной?
Постоянный множитель сохраняют перед первообразной: если U′(x) = u(x), то cU(x) — первообразная функции cu(x). Это следует из правила дифференцирования произведения на постоянную.
Как проверить, правильно ли найдена первообразная?
Найдите производную полученного выражения, не забывая, что производная C равна нулю. Если результат совпал с исходной функцией на заданном промежутке, первообразная найдена верно.
§ 2. Правила нахождения первообразных
