"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Расстояние от точки до плоскости — это длина кратчайшего отрезка, который соединяет точку с плоскостью. Такой отрезок проводят перпендикулярно плоскости, и из точки вне плоскости его можно провести только один. Любой другой отрезок до плоскости называют наклонной: он длиннее перпендикуляра. Если известны длина наклонной и её проекции на плоскость, расстояние можно найти по теореме Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перпендикуляр к плоскости — прямая, проходящая через точку плоскости и перпендикулярная каждой прямой этой плоскости, проходящей через основание перпендикуляра. Точка, где перпендикуляр пересекает плоскость, называется его основанием. Это определение позволяет точно проверить, под каким углом отрезок подходит к плоскости.
Основание перпендикуляра — точка пересечения перпендикуляра с плоскостью. Обычно её обозначают буквой H, а исходную точку вне плоскости — A. Основание нужно, чтобы указать, откуда на плоскости измеряется расстояние и где начинается проекция наклонной.
Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если перпендикуляр AH проведён из точки A, то расстояние равно AH. Такое обозначение помогает не спутать искомую величину с длиной любого другого отрезка к плоскости.
Наклонная к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой плоскости, но не являющийся перпендикуляром к ней. Если конец наклонной обозначить B, то AB — наклонная, а HB — её проекция на плоскость. Это различие понадобится при составлении прямоугольного треугольника.
Из точки A вне плоскости можно провести к ней перпендикуляр AH, и такой перпендикуляр только один. Это следует из геометрии перпендикулярности: через точку вне плоскости существует единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости. Если бы существовали два таких направления, они оба были бы перпендикулярны плоскости, что невозможно для разных прямых через одну точку. Точка H, в которой прямая пересекает плоскость, и есть основание.
Чтобы увидеть, почему AH задаёт расстояние, возьмём на плоскости любую другую точку B и проведём AB. Отрезок AB будет наклонной, а HB лежит в плоскости и перпендикулярен AH. Поэтому треугольник AHB прямоугольный, а AB — его гипотенуза. По теореме Пифагора AB² = AH² + HB², значит, AB² больше AH² и сама наклонная длиннее перпендикуляра. Равенство возможно только при H = B, то есть когда мы измеряем именно перпендикуляр.
Проекция наклонной AB — это отрезок HB между основанием перпендикуляра и концом наклонной в плоскости. Для двух наклонных из одной точки их перпендикуляр AH общий, поэтому длина каждой определяется формулой AB² = AH² + HB². Если проекции равны, то равны и наклонные; если одна проекция длиннее, то соответствующая наклонная тоже длиннее. Сравнивать наклонные удобно именно так, когда сами их длины неизвестны.
Если известны наклонная и её проекция, расстояние находят из той же формулы: AH = √(AB² − HB²). Например, при наклонной 13 см и проекции 12 см перпендикуляр равен √(169 − 144) = 5 см. Под корнем должно получиться неотрицательное число, а проекция не может быть длиннее наклонной. Это помогает проверить, согласованы ли данные задачи.
Задачу о расстоянии до плоскости удобно сводить к построению перпендикуляра и выбору прямоугольного треугольника. Сначала найдите или обозначьте основание перпендикуляра, затем установите, какие отрезки образуют наклонную и её проекцию. В многограннике перпендикуляр часто совпадает с ребром, если это ребро перпендикулярно основанию. Если такого ребра нет, искомую длину можно вычислить через подходящий прямоугольный треугольник и известные размеры.
| Объект или величина | Что означает | Основное свойство |
|---|---|---|
| Перпендикуляр | Прямая или отрезок, перпендикулярный плоскости | Из точки вне плоскости проводится единственный перпендикуляр |
| Основание перпендикуляра | Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью | От неё измеряют расстояние и строят проекцию наклонной |
| Расстояние от точки до плоскости | Длина перпендикуляра из точки к плоскости | Кратчайшее расстояние от точки до плоскости |
| Наклонная | Отрезок от точки вне плоскости до точки в плоскости, не перпендикулярный ей | Длиннее перпендикуляра, проведённого из той же точки |
| Проекция наклонной | Отрезок в плоскости от основания перпендикуляра до конца наклонной | Вместе с перпендикуляром образует катет прямоугольного треугольника |
| Связь длины наклонной, её проекции и перпендикуляра | Стороны прямоугольного треугольника | l² = d² + p², где l — наклонная, d — перпендикуляр, p — проекция |
В таблице сначала найдите нужный объект по его геометрическому смыслу, а затем проверьте его свойство. Для вычислений обозначьте длины наклонной, перпендикуляра и проекции и используйте связь l² = d² + p². Если требуется расстояние, выбирайте именно длину перпендикуляра, а не наклонной.
Из точки вне плоскости проведён перпендикуляр длиной 5 см и наклонная с проекцией 12 см. Требуется найти длину наклонной. Перпендикуляр и проекция выходят из основания перпендикуляра и взаимно перпендикулярны, поэтому они являются катетами прямоугольного треугольника. Наклонная лежит напротив прямого угла.
Ответ: 13 см. Наклонная получилась длиннее каждого катета, что соответствует свойству гипотенузы и служит проверкой.
Наклонная длиной 13 см проведена к плоскости, а расстояние от её конца до плоскости равно 5 см. Нужно найти проекцию наклонной. Расстояние — это перпендикуляр к плоскости, поэтому оно является одним катетом треугольника, где наклонная служит гипотенузой. Проекция наклонной — второй катет.
Ответ: 12 см. Вычитание квадратов здесь верно потому, что известна гипотенуза, а требуется катет.
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с основанием ABCD и верхней вершиной A₁ над точкой A. Пусть его высота AA₁ равна 5 см, а стороны основания AB = 3 см и AD = 4 см. Требуется найти расстояние от A₁ до плоскости основания, а затем сравнить его с длиной наклонной A₁B. Ребро AA₁ перпендикулярно основанию, поэтому оно и есть искомый перпендикуляр.
Ответ: расстояние до основания равно 5 см, длина наклонной A₁B — √34 см. Важно не принимать A₁B за расстояние: этот отрезок не перпендикулярен основанию.
Принимать любой отрезок от точки до плоскости за расстояние. Такое происходит, когда выбирают самый заметный отрезок на чертеже и не проверяют его направление. Но только перпендикуляр является кратчайшим путём до плоскости. Для самопроверки установите, образует ли отрезок прямой угол с плоскостью.
Путать наклонную с её проекцией. Проекция — отрезок, целиком лежащий в плоскости, а наклонная выходит из неё к точке вне плоскости. Их часто смешивают, потому что они связаны с одними и теми же конечными точками. Проверьте, какой отрезок является гипотенузой: это наклонная, а не проекция.
Считать, что наклонная короче перпендикуляра. Ошибка возникает, если воспринимать чертёж как точный и судить только по его внешнему виду. В прямоугольном треугольнике наклонная является гипотенузой, поэтому она длиннее катета-перпендикуляра. Проверьте сравнение по формуле l² = d² + p²: при ненулевой проекции l > d.
Назначать наклонную катетом при применении теоремы Пифагора. Так бывает, когда треугольник не рассмотрен целиком или не отмечен прямой угол. Наклонная лежит напротив прямого угла, значит, это гипотенуза. Перед вычислениями назовите катеты и гипотенузу, а затем проверьте: квадрат гипотенузы должен быть равен сумме квадратов катетов.
Для изучения расстояния до плоскости нужны определение перпендикулярных прямых и понятие прямой, перпендикулярной плоскости. При вычислениях используется теорема Пифагора, поэтому важно уверенно различать катеты и гипотенузу. Эти знания связывают пространственную геометрию с планиметрическими задачами о прямоугольных треугольниках. Далее понятие расстояния помогает решать задачи о многогранниках и расстояниях между точками и плоскостями. Оно также используется при нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми.
Почему расстоянием до плоскости считают именно перпендикуляр?
Перпендикуляр даёт кратчайший путь от точки до плоскости. Любой другой отрезок из этой точки к плоскости является наклонной и длиннее перпендикуляра.
Может ли из одной точки к плоскости быть проведено несколько перпендикуляров?
Нет, если точка находится вне плоскости, перпендикуляр к ней единственный. Иначе у этой точки было бы несколько разных кратчайших расстояний до одной и той же плоскости.
Чем проекция наклонной отличается от самой наклонной?
Наклонная соединяет точку вне плоскости с точкой в плоскости. Её проекция лежит в самой плоскости и соединяет основание перпендикуляра с концом наклонной.
Как найти проекцию наклонной, если известны её длина и расстояние до плоскости?
Нужно применить теорему Пифагора: квадрат проекции равен квадрату наклонной минус квадрат расстояния. Поэтому длина проекции равна √(l² − d²), где l — длина наклонной, d — расстояние до плоскости.
Как понять, какой отрезок в задаче является расстоянием от точки до плоскости?
Проверьте, что отрезок начинается в данной точке, заканчивается на плоскости и перпендикулярен ей. Именно его длина будет расстоянием; отрезок под другим углом — наклонная.
§ 6. Расстояние от точки до плоскости
