19. Расстояние от точки до плоскости

Определения и обозначения

Перпендикуляр к плоскости из точки вне неё — отрезок, проведённый от этой точки к плоскости под прямым углом. Точка, в которой он пересекает плоскость, называется основанием перпендикуляра. По этому отрезку измеряют кратчайшее расстояние от исходной точки до плоскости.

Наклонная к плоскости — отрезок, который соединяет точку вне плоскости с точкой, лежащей в плоскости, но не перпендикулярен ей. Наклонные рассматривают, чтобы сравнивать разные пути от одной точки до плоскости. Их длины помогают решать задачи, если известна длина перпендикуляра.

Проекция наклонной на плоскость — отрезок, который соединяет основание перпендикуляра с концом наклонной, лежащим в плоскости. Иначе говоря, это часть прямоугольного треугольника, расположенная в самой плоскости. Проекция нужна, чтобы связать длину наклонной с расстоянием от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Наклонная не может заменить этот отрезок, даже если она тоже соединяет точку с плоскостью. Определение позволяет однозначно измерить расстояние независимо от того, какие ещё отрезки проведены.

Как это устроено

Из точки, не лежащей в плоскости, можно провести к ней перпендикуляр, и место его пересечения с плоскостью будет основанием. Перпендикулярность означает, что прямая образует прямой угол с прямыми плоскости, проходящими через основание. Именно поэтому основание важно найти до вычислений: от него строятся и перпендикуляр, и проекции наклонных. Если на чертеже обозначить основание буквой H, то все отрезки от H до концов наклонных в плоскости будут их проекциями.

Возьмём наклонную из внешней точки A к точке B в плоскости, а основание перпендикуляра обозначим H. Отрезки AH и HB лежат соответственно перпендикулярно плоскости и в плоскости, поэтому угол AHB прямой. Треугольник AHB прямоугольный, а наклонная AB находится напротив прямого угла и является гипотенузой. Следовательно, AB² = AH² + HB²: длины наклонной, перпендикуляра и проекции связаны теоремой Пифагора.

Из этого прямоугольного треугольника следует, что перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки. Действительно, квадрат длины наклонной равен сумме квадратов перпендикуляра и проекции, а квадрат длины проекции положителен, если наклонная не совпадает с перпендикуляром. Значит, длина наклонной больше длины перпендикуляра. Это объясняет, почему расстоянием называют именно перпендикуляр: среди отрезков от точки до плоскости он самый короткий.

Пусть из одной точки проведены две наклонные, а общий перпендикуляр имеет длину h. Для их длин l₁ и l₂ и проекций p₁ и p₂ выполняются равенства l₁² = h² + p₁² и l₂² = h² + p₂². Так как h один и тот же, при сравнении наклонных общий квадрат перпендикуляра не меняется: большей наклонной соответствует большая проекция. Если наклонные равны, равны и их проекции, поскольку после вычитания h² получаются равные квадраты проекций.

Чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно определить основание перпендикуляра и найти длину отрезка от исходной точки до этого основания. Иногда перпендикуляр уже дан, а иногда его длину получают из прямоугольного треугольника, составленного с наклонной и её проекцией. Выбирай теорему Пифагора только после того, как установишь, какие два отрезка образуют прямой угол. Если известны наклонная и проекция, то h² = l² − p²; если известны h и p, то l² = h² + p².

Перпендикуляр и наклонная к плоскости

Сначала определи, какой отрезок образует прямой угол с плоскостью: это перпендикуляр, а не наклонная. Затем найди проекцию — отрезок от основания перпендикуляра до конца наклонной в плоскости. В вычислениях используй таблицу как схему прямоугольного треугольника: перпендикуляр и проекция являются катетами, наклонная — гипотенузой.

Разбор задач

Найти проекцию наклонной

Из точки вне плоскости опущен перпендикуляр длиной 5 см и проведена наклонная длиной 13 см. Нужно найти проекцию наклонной. Обозначим перпендикуляр через h, наклонную через l, а проекцию через p. Так как h перпендикулярен плоскости, а p лежит в ней, эти отрезки образуют прямой угол.

1. Составим прямоугольный треугольник: наклонная длиной 13 см — гипотенуза, перпендикуляр длиной 5 см — катет, проекция — второй катет.
2. По теореме Пифагора l² = h² + p², значит, p² = l² − h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
3. Длина отрезка положительна, поэтому p = √144 = 12 см. Результат меньше наклонной, как и должно быть для катета.

Ответ: 12 см.

Найти наклонную по расстоянию и проекции

Расстояние от точки до плоскости равно 8 см, а проекция наклонной на плоскость — 6 см. Требуется найти наклонную. Расстояние и есть длина перпендикуляра, поэтому известны оба катета прямоугольного треугольника. Искомая наклонная будет его гипотенузой.

1. Обозначим длину наклонной через l. По теореме Пифагора l² = 8² + 6².
2. Вычислим квадраты: l² = 64 + 36 = 100.
3. Берём положительный корень, так как длина не может быть отрицательной: l = √100 = 10 см. Гипотенуза действительно длиннее каждого из катетов.

Ответ: 10 см.

Найти проекцию второй наклонной

Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 13 см и 17 см. Проекция первой наклонной равна 5 см; нужно найти проекцию второй. Обе наклонные выходят из одной точки, значит, перпендикуляр к плоскости у них общий. Сначала найдём его длину по первой наклонной, затем воспользуемся ею для второй.

1. Обозначим общий перпендикуляр через h. Первая наклонная — гипотенуза с длиной 13 см, её проекция — катет 5 см: h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
2. Так как h — длина, h = 12 см. Для второй наклонной длиной 17 см проекцию обозначим p₂; тогда p₂² = 17² − 12².
3. Вычислим: p₂² = 289 − 144 = 145, поэтому p₂ = √145 см. Проверка: проекция короче второй наклонной, как и требуется.

Ответ: √145 см.

Типичные ошибки

Ошибка — назвать расстоянием до плоскости длину наклонной. Так можно ошибиться, если выбирать самый заметный или единственный нарисованный отрезок, не проверив его угол с плоскостью. Расстояние определяется только перпендикуляром. Проверь себя: отрезок, длину которого ты используешь как расстояние, должен быть перпендикулярен плоскости.

Ошибка — принять наклонную за её проекцию. Наклонная соединяет внешнюю точку с точкой плоскости, а проекция целиком лежит в плоскости и ведёт от основания перпендикуляра к концу наклонной. Путаница возникает, если не отметить на рисунке основание перпендикуляра. Для проверки назови оба конца отрезка: если один из них — внешняя точка, перед тобой не проекция.

Ошибка — считать, что проекция длиннее наклонной. Иногда эти отрезки путают из-за того, что оба связаны с одной наклонной. Но наклонная — гипотенуза прямоугольного треугольника, поэтому она длиннее каждого катета, в том числе проекции. После вычисления сравни длины: ответ, в котором проекция больше наклонной, указывает на неверную формулу или арифметику.

Ошибка — применять теорему Пифагора к отрезкам, между которыми нет прямого угла. Прямой угол образуют перпендикуляр к плоскости и отрезок плоскости, например проекция наклонной. Путаница возникает, если подставлять в формулу любые три длины с чертежа. Проверь обозначения: наклонная должна быть гипотенузой, а перпендикуляр и проекция — катетами.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение перпендикулярности прямой и плоскости, свойства прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Перпендикулярность помогает найти прямой угол, а теорема Пифагора связывает длины перпендикуляра, проекции и наклонной. Позже расстояние от точки до плоскости пригодится при изучении расстояния между параллельными плоскостями. Оно также встречается в задачах на многогранники, где нужно определить высоту или кратчайшее расстояние до грани.

Что запомнить

• Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра.
• Основание перпендикуляра лежит в плоскости.
• Наклонная длиннее перпендикуляра, проведённого из той же точки.
• Перпендикуляр, проекция наклонной и сама наклонная образуют прямоугольный треугольник.
• Квадрат длины наклонной равен сумме квадратов перпендикуляра и её проекции: l² = h² + p².
• При общем перпендикуляре большей наклонной соответствует большая проекция.