20. Теорема о трех перпендикулярах

Определения и обозначения

Перпендикуляр к плоскости — отрезок, проведённый из точки вне плоскости перпендикулярно ей; его конец в плоскости называют основанием перпендикуляра. Например, если AH ⟂ α, то H — основание, а AH задаёт кратчайшее направление от A к плоскости. Это обозначение помогает указать, откуда строится проекция наклонной.

Наклонная к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром к ней. Если A находится вне α, а B принадлежит α, то AB — наклонная, когда AB не перпендикулярна α. Её отличают от перпендикуляра, потому что теорема связывает наклонную с её проекцией.

Проекция наклонной на плоскость — отрезок, соединяющий основание перпендикуляра с концом наклонной, лежащим в плоскости. При AH ⟂ α и наклонной AB проекцией служит HB. Она нужна, чтобы рассматривать связь наклонной с прямой, лежащей непосредственно в плоскости.

Теорема о трёх перпендикулярах устанавливает связь перпендикулярности прямой в плоскости к проекции наклонной и к самой наклонной. В прямом утверждении перпендикулярность проекции приводит к перпендикулярности наклонной, а в обратном — наоборот. Поэтому важно заранее различать прямую, наклонную и её проекцию.

Как это устроено

Пусть точка A находится вне плоскости α. Опустим из неё перпендикуляр AH на α, а затем проведём наклонную AB, где B лежит в α; отрезок HB будет проекцией AB. В конфигурации участвуют AH, AB, HB и прямая l в плоскости α, проходящая через H. Такое построение задаёт опорные точки: H связывает перпендикуляр и проекцию, а B — проекцию и наклонную.

Прямая теорема формулируется так: если l лежит в α, проходит через H и перпендикулярна HB, то l перпендикулярна AB. Причина заключена в плоскости AHB: в ней пересекаются AH и HB, а наклонная AB также лежит в этой плоскости. Прямая l перпендикулярна AH, потому что AH перпендикулярен всей плоскости α, в которой лежит l. По условию l перпендикулярна и HB; значит, она перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости AHB, а потому перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, в частности AB.

Обратная теорема меняет условие и вывод местами: если прямая l лежит в α, проходит через H и перпендикулярна наклонной AB, то она перпендикулярна её проекции HB. Здесь нельзя просто повторить прямое доказательство, поменяв слова местами: применяется именно обратное утверждение. В задаче полезно сначала проверить, какая из двух перпендикулярностей дана, и только потом выбирать направление теоремы.

Проекция важна потому, что она переводит пространственную задачу в проверку внутри плоскости. Если требуется доказать, что прямая перпендикулярна наклонной, достаточно установить её перпендикулярность проекции — но лишь при соблюдении условий теоремы. Такой переход возможен благодаря перпендикуляру AH: он связывает плоскость α с плоскостью, в которой лежит наклонная. Поэтому проекция не просто вспомогательный отрезок, а ключевое звено доказательства.

Прямая и обратная теоремы о трёх перпендикулярах

Пользуйся таблицей как проверкой направления рассуждения: сравни данное в задаче с условием в среднем столбце. Если дана перпендикулярность проекции, применяй прямую теорему; если наклонной — обратную. В обоих случаях проверь, что прямая лежит в плоскости и проходит через нужное основание.

Разбор задач

1. От перпендикулярности проекции к наклонной

Из точки A к α проведены AH ⟂ α и наклонная AB. Прямая l лежит в α, проходит через H и перпендикулярна HB; требуется доказать l ⟂ AB. Сначала определим проекцию: так как A проецируется в H, а B уже лежит в α, проекцией AB является HB. Условия прямой теоремы выполнены, поэтому можно перейти от HB к AB.

1. Запишем AH ⟂ α и l ⊂ α; следовательно, l ⟂ AH.
2. По условию l ⟂ HB, причём HB и AH пересекаются в H и лежат в плоскости AHB.
3. Значит, l перпендикулярна плоскости AHB, а потому и прямой AB, лежащей в ней.

Ответ: l ⟂ AB.

2. От наклонной к её проекции

Дано AH ⟂ α, наклонная AB и прямая l в α через H, причём l ⟂ AB. Нужно доказать l ⟂ HB. Здесь HB — проекция AB, а исходная перпендикулярность относится именно к наклонной, поэтому подходит обратная теорема. Перед её применением проверяем, что прямая проходит через H и лежит в α.

1. Поскольку AH ⟂ α, точка H является основанием перпендикуляра, опущенного из A.
2. Точка B лежит в α, поэтому отрезок HB — проекция наклонной AB на α.
3. По обратной теореме из l ⟂ AB следует l ⟂ HB.

Ответ: l перпендикулярна HB.

3. Проверка условий пространственной задачи

В условии сказано, что ABC — треугольник, H — основание перпендикуляра AH к плоскости треугольника, D лежит на AC, а BH ⟂ CD. Требуется доказать CD ⟂ AB. Здесь нужно сначала проверить согласованность условия: точка A треугольника ABC уже принадлежит его плоскости. Поэтому перпендикуляр из A к этой плоскости не может иметь отличное от A основание H, а описанная наклонная AB и её проекция BH не образуют требуемую конфигурацию.

1. Плоскость треугольника содержит A, B и C, а значит, содержит отрезок AB.
2. Если AH перпендикулярен этой плоскости и A лежит в ней, то основанием перпендикуляра будет сама точка A; невырожденного отрезка AH не получается.
3. Следовательно, в исходном виде задачу нельзя обосновать теоремой о трёх перпендикулярах. Если имелась в виду другая плоскость, нужно уточнить условие, чтобы BH действительно оказалось проекцией AB.

Ответ: условие задачи требует уточнения; при указанных данных теорему применить нельзя.

Типичные ошибки

Первую ошибку делают, называя проекцией отрезок от внешней точки до плоскости. Но этот отрезок может быть перпендикуляром, а проекция наклонной соединяет основание перпендикуляра с концом наклонной в плоскости. Чтобы проверить себя, отметь оба конца проекции: один должен быть основанием перпендикуляра, другой — точкой плоскости на наклонной.

Вторая ошибка — применить теорему, не проверив, что прямая лежит в плоскости и проходит через основание проекции. Эти условия нужны, потому что утверждение теоремы относится именно к такой прямой, а не к любой линии пространства. Перед доказательством запиши, где лежит прямая и через какую точку она проходит.

Третья ошибка — перепутать прямую и обратную теоремы. В прямой перпендикулярность проекции даёт перпендикулярность наклонной; в обратной дано обратное соотношение. Сверь с таблицей, какая перпендикулярность указана в условии и какую требуется доказать.

Четвёртая ошибка — считать, что прямая, перпендикулярная проекции, автоматически перпендикулярна любой наклонной. Теорема связывает только конкретные наклонную и её проекцию и требует, чтобы прямая проходила через основание проекции. Для самопроверки назови эти отрезки и проверь все условия, прежде чем делать вывод.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны определение перпендикулярности прямых и плоскостей и признак перпендикулярности прямой и плоскости. Также важно уметь находить ортогональную проекцию отрезка: её строят с помощью перпендикуляров к плоскости. Навыки работы с прямоугольными треугольниками помогают находить длины отрезков в конфигурации. Теорема пригодится при доказательстве перпендикулярности прямых в пространстве и при решении задач на расстояния и углы.

Что запомнить

• Проекция наклонной соединяет основание перпендикуляра с концом наклонной в плоскости.
• Прямая теорема: перпендикулярность прямой проекции влечёт её перпендикулярность наклонной.
• Обратная теорема: перпендикулярность прямой наклонной влечёт её перпендикулярность проекции.
• Прямая, к которой применяют теорему, должна лежать в плоскости проекции.
• Перед применением теоремы явно укажи наклонную и её проекцию.