20. Теорема о трех перпендикулярах

Определения и обозначения

Перпендикуляр к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с основанием перпендикуляра. Его длина является расстоянием от точки до плоскости. В обозначениях AH ⟂ α, а H — основание перпендикуляра.

Наклонная к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром к ней. Например, AB — наклонная из точки A к плоскости α. Она нужна, чтобы изучать положение отрезка, который выходит из плоскости под углом.

Проекция наклонной на плоскость — отрезок, соединяющий основание перпендикуляра с концом наклонной, лежащим в плоскости. Для наклонной AB это отрезок HB. Проекция помогает заменить пространственную наклонную отрезком в самой плоскости.

Теорема о трёх перпендикулярах устанавливает связь между перпендикулярностью прямой в плоскости к проекции наклонной и к самой наклонной. Если l проходит через B и l ⟂ HB, то l ⟂ AB. Благодаря этому пространственную задачу можно свести к проверке перпендикулярности в плоскости.

Как это устроено

Рассмотрим точку A вне плоскости α, перпендикуляр AH и наклонную AB. Точка H лежит в α, как и точка B, поэтому HB является проекцией AB. Пусть прямая l лежит в α и проходит через B.

Предположим, что l ⟂ HB, и возьмём на l произвольную точку C, отличную от B. Так как AH ⟂ α, отрезок AH перпендикулярен HC и AC, а треугольники AHB и AHC прямоугольные. По теореме Пифагора AB² = AH² + HB², а AC² = AH² + HC².

В плоскости α треугольник HBC прямоугольный в B, поскольку HB ⟂ l и BC лежит на l. Поэтому HC² = HB² + BC². Подставляя это равенство, получаем AC² = AH² + HB² + BC² = AB² + BC².

Равенство квадратов показывает, что треугольник ABC прямоугольный в B. Значит, AB ⟂ BC, а поскольку C была выбрана произвольно на l, прямая AB перпендикулярна l. Так получается прямая теорема: если прямая плоскости проходит через конец наклонной и перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна наклонной.

Работает и обратный переход: если l проходит через B и l ⟂ AB, то l ⟂ HB. Условие о прохождении через B обязательно, потому что перпендикулярные прямые должны пересекаться, а HB и AB имеют общую точку B. Это утверждение применяют, когда в задаче уже доказана перпендикулярность прямой наклонной и нужно получить перпендикулярность её проекции.

Теорема о трёх перпендикулярах: условие и вывод

Сначала проверьте, что AH действительно перпендикулярен плоскости, а B лежит в этой плоскости. Затем убедитесь, что прямая l проходит через B, и только после этого выбирайте нужное направление теоремы. В прямом направлении известна перпендикулярность к HB, а в обратном — к AB.

Разбор задач

Задача 1

Из точки A к плоскости α проведены AH ⟂ α и наклонная AB. Через B в плоскости проведена прямая l, причём l ⟂ HB. Требуется доказать, что l ⟂ AB.

1. Точка H — основание перпендикуляра из A, а B лежит в α, поэтому HB является проекцией наклонной AB.
2. Прямая l лежит в α, проходит через конец наклонной B и перпендикулярна её проекции HB.
3. По теореме о трёх перпендикулярах из этих условий следует l ⟂ AB.

Ответ: l ⟂ AB. Дополнительных вычислений не требуется, потому что все условия теоремы даны непосредственно.

Задача 2

В прямоугольном параллелепипеде точка A расположена над плоскостью основания, AH перпендикулярен основанию, а AB — наклонная. Пусть через B в основании проведена заданная прямая l, причём l ⟂ HB. Докажем, что AB перпендикулярна l.

1. Поскольку AH ⟂ основанию, точка H является основанием перпендикуляра, а HB — проекцией наклонной AB на плоскость основания.
2. По условию l лежит в основании, проходит через B и перпендикулярна HB.
3. Применяем теорему о трёх перпендикулярах и получаем l ⟂ AB.

Ответ: AB ⟂ l. Смысл решения в том, что пространственную перпендикулярность заменили более простой проверкой в плоскости основания.

Задача 3

Из точки A вне плоскости α проведены перпендикуляр AH и наклонные AB и AC. Через B в плоскости проведена прямая l, перпендикулярная HB. Нужно доказать l ⟂ AB и выяснить, можно ли заключить, что l ⟂ AC.

1. Так как H — основание перпендикуляра, HB является проекцией наклонной AB.
2. Прямая l проходит через B и перпендикулярна HB, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах l ⟂ AB.
3. Проекция наклонной AC — отрезок HC, а не HB. Для вывода l ⟂ AC нужно отдельно знать, что l проходит через C и l ⟂ HC, либо иметь другое доказательство.

Ответ: l ⟂ AB, но из этого нельзя вывести l ⟂ AC. У двух наклонных из одной точки обычно разные проекции и разные концы.

Типичные ошибки

Ошибка 1. HB называют проекцией AB, не проверив положение H и B. Так делают, потому что видят похожий отрезок на схеме. Проверьте: H должно быть основанием AH ⟂ α, а B — точкой плоскости.

Ошибка 2. Теорему применяют, когда l и HB не пересекаются в B. Причина — забывают, что перпендикулярные прямые должны иметь общую точку. Убедитесь, что l лежит в плоскости и проходит именно через B.

Ошибка 3. Направление теоремы меняют местами: считают, что из l ⟂ AB сразу следует условие прямого утверждения. В прямом случае дано l ⟂ HB, а доказывается l ⟂ AB. Если известно l ⟂ AB, нужно использовать обратное утверждение.

Ошибка 4. Перпендикулярность l одной наклонной переносят на все наклонные из A. Это неверно, поскольку у разных наклонных могут быть разные проекции. Для каждой новой наклонной отдельно проверяйте её конец и проекцию.

Связь с другими темами

Для темы нужны понятия перпендикулярности прямых, прямой и плоскости, ортогональной проекции и теорема Пифагора. Без них трудно понять, почему отрезок AH создаёт прямоугольные треугольники.

Теорема помогает доказывать перпендикулярность прямых в пространстве. Её используют также в задачах на расстояния, углы и свойства прямоугольных параллелепипедов.

Тема соединяет планиметрию и стереометрию. Свойства прямоугольного треугольника позволяют получать выводы о пространственных фигурах.

Что запомнить

• AH — перпендикуляр к плоскости α, HB — проекция наклонной AB.
• Наклонная AB и её проекция HB имеют общий конец B.
• Если l лежит в α, проходит через B и l ⟂ HB, то l ⟂ AB.
• Обратное утверждение позволяет перейти от l ⟂ AB к l ⟂ HB.
• Перед применением теоремы обозначь плоскость, наклонную, её проекцию и прямую.
• Перпендикулярность одной наклонной не означает перпендикулярности всех наклонных.