19. Теорема о трех перпендикулярах

Определения и обозначения

Перпендикуляр к плоскости — отрезок, проведённый из точки вне плоскости под прямым углом к ней; его основание лежит в плоскости. На схеме обозначим его AO, а плоскость — α. Этот отрезок показывает расстояние от точки A до плоскости и задаёт точку O, нужную для построения проекции наклонной.

Наклонная к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром к ней. Например, AB соединяет точку A с точкой B на плоскости α. Наклонную сравнивают с её перпендикуляром и используют в задачах о взаимном расположении прямых.

Проекция наклонной на плоскость — отрезок, соединяющий основание перпендикуляра с концом наклонной, который лежит в плоскости. Поэтому для наклонной AB с перпендикуляром AO проекцией будет OB. Она помогает перенести пространственную задачу в плоскость и применить теорему о трёх перпендикулярах.

Теорема о трёх перпендикулярах связывает перпендикулярность прямой в плоскости с перпендикулярностью наклонной и её проекции. В обозначениях выше речь идёт о прямой в α, проходящей через B. Теорема позволяет установить перпендикулярность наклонной, проверив её проекцию, или сделать обратный вывод.

Как это устроено

Сначала строим схему: из точки A вне плоскости α проводим перпендикуляр AO и наклонную AB. Основания O и B принадлежат α, поэтому отрезок OB лежит в плоскости. Он соединяет основание перпендикуляра с концом наклонной, а значит, именно OB, а не AB, является проекцией AB.

В названии теоремы упоминаются три перпендикуляра: AO, наклонная AB и прямая l в плоскости, проведённая через B перпендикулярно OB. AO — перпендикуляр к плоскости, а OB задаёт направление проекции наклонной. Теорема устанавливает, что при условии l ⟂ OB прямая l также перпендикулярна AB; поэтому три перпендикулярности связаны в одной пространственной конструкции.

Прямое утверждение звучит так: если l лежит в α, проходит через B и перпендикулярна OB, то l ⟂ AB. Смысл этого вывода становится понятен через вспомогательную плоскость AOB. Проведём в ней через B прямую, параллельную AO: она перпендикулярна α и потому перпендикулярна l. Прямая l перпендикулярна и OB, поэтому она перпендикулярна плоскости, содержащей эти две пересекающиеся прямые; наклонная AB лежит в этой плоскости, следовательно, AB ⟂ l.

Обратное утверждение тоже верно: если l лежит в α, проходит через B и перпендикулярна AB, то она перпендикулярна OB. Для обоснования можно использовать ту же вспомогательную плоскость AOB и прямую через B, параллельную AO. Поскольку l перпендикулярна AB и направлению AO, параллельному этой прямой, она перпендикулярна плоскости AOB, а значит, и лежащей в ней проекции OB. Так устанавливается связь в обоих направлениях.

В доказательстве используется признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости. Здесь вспомогательная плоскость содержит AO и OB, а через B в ней проводят прямую, параллельную AO. Это уточнение необходимо, потому что l не пересекает AO в точке A или O, но перпендикулярна прямой, параллельной AO и проходящей через B.

Теорема о трёх перпендикулярах: условие и заключение

Сначала проверь условия: прямая должна лежать в α и проходить через B. Затем определи, что известно — перпендикулярность проекции или наклонной, — и выбери нужное направление теоремы. Если условия о плоскости и точке B не выполнены, применять её нельзя.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Из точки A к плоскости α проведены перпендикуляр AO и наклонная AB. Через B в плоскости α проведена прямая l, причём l ⟂ OB. Докажите, что l ⟂ AB. Здесь важно заметить, что OB — проекция наклонной AB.

1. Проверяем расположение прямой. По условию l лежит в α и проходит через B, то есть через конец наклонной AB. Значит, выполнены условия прямого утверждения теоремы.

2. Используем данную перпендикулярность. Так как l ⟂ OB, прямая l перпендикулярна проекции наклонной AB. По теореме о трёх перпендикулярах получаем l ⟂ AB.

3. Формулируем доказанное заключение. Мы использовали именно прямое утверждение, потому что исходное условие касается проекции, а требовалось доказать перпендикулярность наклонной. Проверка положения l исключает неверное применение теоремы.

Ответ: l ⟂ AB.

Задача 2

Условие. AO ⟂ α, OB лежит в α, AB — наклонная, а прямая l в плоскости α проходит через B и перпендикулярна AB. Докажите, что l ⟂ OB. Условие сообщает перпендикулярность наклонной, а заключение должно относиться к её проекции.

1. Определяем проекцию. Основание перпендикуляра из A — точка O, а конец наклонной в плоскости — точка B, поэтому OB является проекцией AB. Это позволяет точно сопоставить условие задачи с формулировкой теоремы.

2. Проверяем положение прямой. Прямая l лежит в α и проходит через B — конец наклонной. По условию l ⟂ AB, значит, выполнены условия обратного утверждения теоремы о трёх перпендикулярах.

3. Применяем обратное утверждение. Из перпендикулярности l и AB следует перпендикулярность l и проекции OB. Тем самым требуемое доказано без необходимости отдельно вычислять углы или длины отрезков.

Ответ: l ⟂ OB.

Задача 3

Условие. Из точки A к плоскости α опущен перпендикуляр AO; AB — наклонная, OB — её проекция. Через B в плоскости α проведена прямая l, перпендикулярная OB. Докажите, что расстояние от A до любой точки C прямой l минимально при C = B. Расстояние от точки до прямой — это длина отрезка, соединяющего точку с выбранной точкой этой прямой.

1. Сначала устанавливаем перпендикулярность, необходимую для сравнения расстояний. Прямая l лежит в α, проходит через B и перпендикулярна OB. По теореме о трёх перпендикулярах получаем l ⟂ AB.

2. Точка B принадлежит l, поэтому AB соединяет A с точкой этой прямой. Из предыдущего шага следует, что AB перпендикулярен l в точке B. Значит, AB — перпендикуляр, опущенный из A на прямую l.

3. Перпендикуляр от точки до прямой короче любой наклонной, проведённой из этой точки к прямой. Поэтому для любой другой точки C на l отрезок AC длиннее AB, и расстояние от A до l достигается при C = B.

Ответ: минимальное расстояние равно AB и достигается при C = B.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать проекцией отрезок AB. Так думают, потому что AB — наклонная, а именно она заметнее всего на схеме. Но проекция соединяет точки плоскости O и B, поэтому это OB; проверь себя, найдя основание перпендикуляра и конец наклонной в плоскости.

Вторая ошибка — применять теорему, не проверив, что прямая лежит в α и проходит через B. Ученик может увидеть перпендикулярность проекции и сразу сделать вывод о наклонной, забыв ограничения. Перед применением выпиши обе проверки: принадлежность прямой плоскости и прохождение через конец наклонной.

Третья ошибка — перепутать прямое и обратное утверждения. Поскольку в теореме есть оба направления, легко начать доказательство с нужного вывода, не сопоставив его с условием. Если дана перпендикулярность OB, выводи перпендикулярность AB; если дана перпендикулярность AB — перпендикулярность OB.

Четвёртая ошибка — считать, что перпендикулярность OB автоматически означает перпендикулярность AB. Перпендикулярность сама по себе относится к конкретной паре прямых, а не переносится на другую прямую. Проверь, что речь идёт о прямой l, лежащей в α и проходящей через B, и только затем используй теорему.

Связь с другими темами

Для понимания теоремы нужны определения перпендикуляра к плоскости, наклонной и её проекции, а также признаки перпендикулярности прямых и прямой плоскости. Именно они помогают построить проекцию и обосновать доказательство через вспомогательную плоскость. Позже теорема пригодится в пространственных задачах на перпендикулярность, нахождение расстояний и изучение углов между прямыми. Она позволяет заменить проверку наклонной проверкой её проекции.

Что запомнить

• Проекция наклонной AB на плоскость α — отрезок OB.
• Перпендикуляр AO проводится из A к плоскости, а его основание O лежит в α.
• Прямая в плоскости через B перпендикулярна AB тогда и только тогда, когда она перпендикулярна OB.
• Теорема связывает наклонную с её проекцией на плоскость.
• Перед применением теоремы проверь, где лежит прямая и через какую точку она проходит.